Esercizio algebra lineare rette

[MrChopin]

Determinare posizione reciproca rispetto al parametro a
$ r:{ ( 2x+5y-17=0; ),( z+1=0; ):}
s:{ ( (a-4)y +4z+16-3a=0; ),( 4x+(a+6)y-7a-18=0; ):} $
Faccio il determinante A|B e ottengo come determinante
$ 2a^2 -5a-31 $
come è possibile?Cosa sbaglio?

[NoSignal]

Perchè calcoli il determinante?(tra l'altro..di quale matrice?); si potrebbe fare cosi: considera il sistema totale che comprende le equazioni di $r$ e di $s$, e verifichi con il teorema di Rouchè-Capelli per quali $a$ il sistema ammette una soluzione soltanto o infinite o nessuna(eventualmente riducendola a scala), e in quest'ultimo caso l'unica cosa che mi viene in mente è trovare i vettori direzionali di $r$ e di $s$ e confrontarli.

[MrChopin]

"NoSignal":Perchè calcoli il determinante?(tra l'altro..di quale matrice?); si potrebbe fare cosi: considera il sistema totale che comprende le equazioni di $r$ e di $s$, e verifichi con il teorema di Rouchè-Capelli per quali $a$ il sistema ammette una soluzione soltanto o infinite o nessuna(eventualmente riducendola a scala), e in quest'ultimo caso l'unica cosa che mi viene in mente è trovare i vettori direzionali di $r$ e di $s$ e confrontarli.

Indubbiamente ma all'esame vorrei utilizzare il metodo che mi hanno spiegato a lezione, perchè credo che voglia quello all'esame, che non credo sia molto difficile che non so esattamente come si chiama ma credo che chi mi risponderà capirà credo sicuramente di cosa si tratta.
La matrice di cui stavo parlando è la matrice e composta dalle equazione di r e s dove la matrice A è formata da soli i valori delle variabili, mentre l'altra (A|B) anche dai termini noti.
Le due rette potranno essere in base al rango delle matrici:
a) Sghembe se $ rho(A)=3, rho (A|B)=4rArr |(A|B)|!= 0; $
b) Incidenti se $ rho(A)=3=rho (A|B)rArr soluzion e rArr |(A|B)|=0 $
c) parallele se $ rho(A)=2, rho (A|B)=3 rArr no soluzion e rArr |(A|B)|=0 $
d) coincidenti se $ rho(A)=2= rho rArr 1 soluzion e rArr |(A|B)|=0 $
Questo è il metodo che devo usare la mia matrice $ (A|B) $ è questa:
$ ( ( 0, (a-4) , 4, 16-3a ),( 4 , (a+6), 0, -7a-18 ),( 2 , 5 , 0 , -17 ),( 0 , 0, 1 , 1 ) ) $
e mi esce come determinante questo
$ 2a^2−5a−31 $
Ho fatto bene?