Esercizio algebra lineare
Ciao a tutti, vorrei chiedervi un aiuto su questo esercizio, è il primo quesito del primo esercizio del pdf che allego.
Non riesco a capire come trovi la matrice in base alle condizioni date.
Meglio, capisco come trova le prime due, ma la terza proprio no.
http://corsi.metid.polimi.it/col/data/s ... 022012.pdf
Spero mi possiate dare una mano, grazie a chi si interesserà
Ojama_
Non riesco a capire come trovi la matrice in base alle condizioni date.
Meglio, capisco come trova le prime due, ma la terza proprio no.
http://corsi.metid.polimi.it/col/data/s ... 022012.pdf
Spero mi possiate dare una mano, grazie a chi si interesserà
Ojama_
Risposte
"Ojama_":
Ciao a tutti, vorrei chiedervi un aiuto su questo esercizio, è il primo quesito del primo esercizio del pdf che allego.
Non riesco a capire come trovi la matrice in base alle condizioni date.
Meglio, capisco come trova le prime due, ma la terza proprio no.
http://corsi.metid.polimi.it/col/data/s ... 022012.pdf
Spero mi possiate dare una mano, grazie a chi si interesserà
Ojama_
Mi unisco alla richiesta.
Innanzitutto si osservi che $ V(0) = \text{ker}\ f $.
Essendo la matrice associata ad $ f $ rispetto a $ B $ di rango $ 2 $, il Teorema del Rango assicura che $ \text{dim}\ V(0) = 1 $.
Essendo poi $ 1 \le \text{dim}\ V(\lambda) \le m(\lambda) $ per ogni $ \lambda $ autovalore per $ f $, è allora evidente che anche $ \text{dim}\ V(-1) = 1 $.
Essendo entrambi gli autospazi di dimensione $ 1 $, basta un vettore non nullo per individuare una base per ciascuno di loro.
Essendo la matrice associata ad $ f $ rispetto a $ B $ di rango $ 2 $, il Teorema del Rango assicura che $ \text{dim}\ V(0) = 1 $.
Essendo poi $ 1 \le \text{dim}\ V(\lambda) \le m(\lambda) $ per ogni $ \lambda $ autovalore per $ f $, è allora evidente che anche $ \text{dim}\ V(-1) = 1 $.
Essendo entrambi gli autospazi di dimensione $ 1 $, basta un vettore non nullo per individuare una base per ciascuno di loro.
Per trovare la matrice richiesta occorre fare i seguenti passi :
A) calcolare le immagini dei vettori della base B di partenza ( che nel caso presente sono già note).
B) esprimere le immagini di cui sopra in funzione dei vettori della base di arrivo ( che nel nostro caso
coincide con la base B di partenza)
C) i vettori coordinati calcolati come al punto (B) sono le colonne della matrice voluta.
Come esempio, faccio il calcolo per il terzo vettore \(\displaystyle(0,1,1)^t \) di B.
Allora abbiamo :
A) \(\displaystyle f ((0,1,1)^t)=(2,1,1)^t\)
B) Esprimo il vettore \(\displaystyle (2,1,1)^t \) in funzione dei vettori di B e quindi, per non tirare ad indovinare, pongo :
\(\displaystyle (2,1,1)^t=a(1,1,0)^t+b(1,0,1)^t+c(0,1,1)^t \)
Da qui il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}a+b=2\\a+c=1\\b+c=1\end{cases} \)
che dà la soluzione : \(\displaystyle a=1,b=1,c=0 \)
C) Pertanto il vettore coordinato \(\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \)
rappresenta la terza colonna della matrice. Analogamente per le altre due immagini.
A) calcolare le immagini dei vettori della base B di partenza ( che nel caso presente sono già note).
B) esprimere le immagini di cui sopra in funzione dei vettori della base di arrivo ( che nel nostro caso
coincide con la base B di partenza)
C) i vettori coordinati calcolati come al punto (B) sono le colonne della matrice voluta.
Come esempio, faccio il calcolo per il terzo vettore \(\displaystyle(0,1,1)^t \) di B.
Allora abbiamo :
A) \(\displaystyle f ((0,1,1)^t)=(2,1,1)^t\)
B) Esprimo il vettore \(\displaystyle (2,1,1)^t \) in funzione dei vettori di B e quindi, per non tirare ad indovinare, pongo :
\(\displaystyle (2,1,1)^t=a(1,1,0)^t+b(1,0,1)^t+c(0,1,1)^t \)
Da qui il sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}a+b=2\\a+c=1\\b+c=1\end{cases} \)
che dà la soluzione : \(\displaystyle a=1,b=1,c=0 \)
C) Pertanto il vettore coordinato \(\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} \)
rappresenta la terza colonna della matrice. Analogamente per le altre due immagini.
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