Esercizio algebra lineare

[Dust1]

Ho un problema su questo esercizio:

Siano $U=<(0,3,4,1),(3,3,1,4)>$ e $V=<(1,3,2,1),(0,3,2,1)>$
1)Si calcoli una base di $U+V$
2)Si calcoli una base di $UnnV$
3)Si estenda la base $UnnV$ ad una base di $RR^4$
4)si scriva un sistema di equazioni per $U

Ho verificato che le 2 famiglie di vettori sono linearmente indipendenti quindi la prima è base di $U$ e la 2° è base di $V$.
Poi però ho verificato che anche i 4 vettori sono a loro volta linearmente indipendenti (verificando che il rango $rho((0,3,4,1),(3,3,1,4),(1,3,2,1),(0,3,2,1))=4$) quindi i 4 vettori possono essere assunti come base di $U+V$ (o sbaglio?). Se quello che ho fatto è giusto(cioè verificare se i 4 vett sono linearmente indip) allora ha senso cercare una base di $UnnV$

Spero di non aver scritto troppe castronerie, ma il prof non ci ha fatto quasi nessun es quindi se l'ho sbagliato datemi una mano a risolverlo, per favore..

Ciao

[_Tipper]

Le basi di $U$ e $V$ vanno bene. Se il rango di quella matrice è $4$ allora $U+V=\mathbb{R}^4$, quindi ogni quadrupla di vettori linearmente indipendenti appartenenti a $\mathbb{R}^4$ è una base di $U+V$.
Se $U$ e $V$ sono in somma diretta, come in questo caso, allora l'intersezione coincide con lo spazio nullo, e una base è l'insieme vuoto.

[Dust1]

"Tipper":Le basi di $U$ e $V$ vanno bene. Se il rango di quella matrice è $4$ allora $U+V=\mathbb{R}^4$, quindi ogni quadrupla di vettori linearmente indipendenti appartenenti a $\mathbb{R}^4$ è una base di $U+V$.
Se $U$ e $V$ sono in somma diretta, come in questo caso, allora l'intersezione coincide con lo spazio nullo, e una base è l'insieme vuoto.

Ok, allora credo di aver fatto giusto. La mia insicurezza era data dal fatto che non avevo considerato la base nulla. Cmq, se come in questo caso 2 spazi vettoriali sono generati da famiglieche hanno tutti vettori tra loro linearmente indipendenti posso dire che l'intersezione dei 2 spazi risulterà nulla, in generale?

Grazie, ciao

[_Tipper]

Sì, perché $\dim(A+B)=\dim(A)+\dim(B)-\dim(A \cap B)$. Se $\dim(A+B)=\dim(A)+\dim(B)$ allora necessariamente $\dim(A \cap B)=0$.

[Dust1]

"Tipper":Sì, perché $\dim(A+B)=\dim(A)+\dim(B)-\dim(A \cap B)$. Se $\dim(A+B)=\dim(A)+\dim(B)$ allora necessariamente $\dim(A \cap B)=0$.

(naturalmente mi riferivo al caso in cui la somma generi tutto lo spazio vettoriale. Come in questo caso $RR^4$)
Ok, grazie delle delucidazioni!!!

Ciao

[Dust1]

Un'ultima cosa: se quanto detto fin'ora è corretto che senso ha la 3° domanda?

[_Tipper]

Cosa intendi estendere una base? Aggiungere vettori per scrivere ad una base di un altro spazio?

Se intendi questo, dato che la base dell'intersezione è l'insieme vuoto, allora basta aggiungere i vettori $((1),(0),(0),(0)), ((0),(1),(0),(0)), ((0),(0),(1),(0)), ((0),(0),(0),(1))$

[Dust1]

Estendere lo uso allo stesso modo di completare. Cioè aggiungere vettori affinchè la base sia della stessa dimensione dello spazio ambiente(sperando di aver usato le parole corrette).

Cmq allora ho capito la tua indicazione. In questo caso avrei anche potuto scegliere qualsiasi insieme di 4 quaterne che formassero una famiglia lin indip, vero?

[_Tipper]

"Dust":In questo caso avrei anche potuto scegliere qualsiasi insieme di 4 quaterne che formassero una famiglia lin indip, vero?

Di quattro vettori, non quattro quaterne , scegliendo comunque solo vettori di $\mathbb{R}^4$, ovviamente.

[Dust1]

"Tipper":[quote="Dust"]In questo caso avrei anche potuto scegliere qualsiasi insieme di 4 quaterne che formassero una famiglia lin indip, vero?

Di quattro vettori, non quattro quaterne , scegliendo comunque solo vettori di $\mathbb{R}^4$, ovviamente.[/quote]

Certo, scusa per la svista..

Grazie ancora!

[_Tipper]

Prego