Esercizio Algebra Lineare
sia f:R^3-->R^3 l' applicazione lineare che trasforma ordinatamente i vettori (1,0,0) ,(0,1,0),(0,0,1) nei vettori (1,1,0), (1,-1,1),(2,0,1). Scriverne l' espressione analitica di f: per ogni (x,y,z) appartenenti ad R^3.
f(x,y,z)= ????
f(x,y,z)= ????
Risposte
E' un esercizio abbastanza standard e ti invito come da regolamento a proporre un tuo tentativo di risoluzione.
Innanzitutto i vettori trasformati da $f$ chi sono ? Formano una base di $RR^3$ ?
Come saprai ad ogni applicazione lineare può essere associata una matrice rappresentativa mettendo come colonne le immagini della base canonica...
Innanzitutto i vettori trasformati da $f$ chi sono ? Formano una base di $RR^3$ ?
Come saprai ad ogni applicazione lineare può essere associata una matrice rappresentativa mettendo come colonne le immagini della base canonica...
Hai ragione scusa comunque i vettori iniziali sono i vettori (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) mentre quelli trasformati sono (1,1,0),(1,-1,1)(2,0,1).
Comunque per risolverlo ho provato a costruire una matrice con i vettori immagine moltiplicarla per un generico vettore colonna (x,y,z) e poi porre il tutto uguale al vettore nullo così da trovarmi il vettore (s,s,-s) con y= al parametro s. Ora non so se è proprio questa l'espressione analitica che cerco oppure no. La professoressa mi ha segnato l'esercizio come errore però come unica giustificazione mi ha detto semplicemente che è sbagliato
Comunque per risolverlo ho provato a costruire una matrice con i vettori immagine moltiplicarla per un generico vettore colonna (x,y,z) e poi porre il tutto uguale al vettore nullo così da trovarmi il vettore (s,s,-s) con y= al parametro s. Ora non so se è proprio questa l'espressione analitica che cerco oppure no. La professoressa mi ha segnato l'esercizio come errore però come unica giustificazione mi ha detto semplicemente che è sbagliato
con la domanda "chi sono" intendevo: è una base nota?
La risposta è si, è la base canonica di $RR^3$.
Ora pensa a questo.
Data una matrice $A$ che rappresenta l'applicazione lineare, sai bene che per trovare l'immagine di un vettore $v$ che appartiene allo spazio di partenza, è sufficiente fare il prodotto matriciale $A*v$.
Ora, tu hai nota la matrice $A$, che è quella che ha per colonne le immagini tramite $f$, e vuoi sapere com'è fatta l'immagine di un generico vettore $[x,y,z]^{T}$.
Basterà fare il prodotto \( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \)
La risposta è si, è la base canonica di $RR^3$.
Ora pensa a questo.
Data una matrice $A$ che rappresenta l'applicazione lineare, sai bene che per trovare l'immagine di un vettore $v$ che appartiene allo spazio di partenza, è sufficiente fare il prodotto matriciale $A*v$.
Ora, tu hai nota la matrice $A$, che è quella che ha per colonne le immagini tramite $f$, e vuoi sapere com'è fatta l'immagine di un generico vettore $[x,y,z]^{T}$.
Basterà fare il prodotto \( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo