Esercizio algebra - dim e base di polinomio di 5° grado
Salve a tutti!
In $RR[X]$ si consideri il sottospazio vettoriale $W = {p(X) in RR[X]:$deg $p(X) <= 5$; $p(1 - i) = 0}$. Si calcoli $dimW$.
Se ne deduca che la famiglia $X(X^2-2X+2)^2$, $(X^2-2X+2)^2$, $X(X^2-2X+2)$, $X^2-2X+2$ è una base di $W$.
Aiuto perché non so proprio da dove iniziare né dove mettere le mani
In $RR[X]$ si consideri il sottospazio vettoriale $W = {p(X) in RR[X]:$deg $p(X) <= 5$; $p(1 - i) = 0}$. Si calcoli $dimW$.
Se ne deduca che la famiglia $X(X^2-2X+2)^2$, $(X^2-2X+2)^2$, $X(X^2-2X+2)$, $X^2-2X+2$ è una base di $W$.
Aiuto perché non so proprio da dove iniziare né dove mettere le mani
Risposte
Un polinomio generico di quinto grado è $a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$, ci sono 6 parametri
imporre $1-i$ come radice significa imporre la divisibilità per il polinomio $x^2-2x+2$, in quanto se un polinomio reale ha una radice complessa ha anche la sua coniugata.
un polinomio del tuo spazio è del tipo $p(x)*(x^2-2x+2)$ con $p(x)$ di grado $<=3$, questo ti dice che i parametri sono 4 che quindi è la dimensione di $W$.
Ti basta verificare che quei 4 che hai stanno nel sottospazio e sono linearmente indipendenti.
se hai dubbi sulla struttura di spazio vettoriale dei polinomi guarda qua per un po' di teoria.
imporre $1-i$ come radice significa imporre la divisibilità per il polinomio $x^2-2x+2$, in quanto se un polinomio reale ha una radice complessa ha anche la sua coniugata.
un polinomio del tuo spazio è del tipo $p(x)*(x^2-2x+2)$ con $p(x)$ di grado $<=3$, questo ti dice che i parametri sono 4 che quindi è la dimensione di $W$.
Ti basta verificare che quei 4 che hai stanno nel sottospazio e sono linearmente indipendenti.
se hai dubbi sulla struttura di spazio vettoriale dei polinomi guarda qua per un po' di teoria.
"rubik":
Un polinomio generico di quinto grado è $a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0$, ci sono 6 parametri
E ok, fin qui c'ero.
"rubik":
imporre $1-i$ come radice significa imporre la divisibilità per il polinomio $x^2-2x+2$, in quanto se un polinomio reale ha una radice complessa ha anche la sua coniugata.
Se un polinomio reale ha una radice complessa, ha anche la sua coniugata ok. Ma come hai fatto a dire che è divisibile per quel polinomio?
"rubik":
un polinomio del tuo spazio è del tipo $p(x)*(x^2-2x+2)$ con $p(x)$ di grado $<=3$, questo ti dice che i parametri sono 4 che quindi è la dimensione di $W$.
Ti basta verificare che quei 4 che hai stanno nel sottospazio e sono linearmente indipendenti.
Ok, dando per buono il fatto della divisibilità...
Intanto comunque grazie!
"rubik":
imporre $1-i$ come radice significa imporre la divisibilità per il polinomio $x^2-2x+2$, in quanto se un polinomio reale ha una radice complessa ha anche la sua coniugata.
se $p(alpha)=0$ allora $x-alpha | p(x)$ nel nostro caso quindi $(x-1+i)(x-1-i)|p(x)$ e $(x-1+i)(x-1-i)=x^2-2x+2$
Perfetto rubik, grazie mille!!
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