Esercizio algebra - autospazi di matrice e diagonalizzazione
Un altro problema su cui purtroppo non so cosa fare...
Di una matrice simmetrica $A in RR^(3xx3)$ è noto che
- $W={x in RR^3: x_1+x_2+x_3=0}$ è un autospazio di $A$ di autovalore $5$;
- $7$ è un autovalore di $A$.
Si diagonalizzi $A$ tramite una matrice ortogonale.
Aiuto
Grazie!!
Di una matrice simmetrica $A in RR^(3xx3)$ è noto che
- $W={x in RR^3: x_1+x_2+x_3=0}$ è un autospazio di $A$ di autovalore $5$;
- $7$ è un autovalore di $A$.
Si diagonalizzi $A$ tramite una matrice ortogonale.
Aiuto
Grazie!!
Risposte
Devi determinarti gli autovettori ortonormali, la matrice le cui colonne sono tali vettori, sarà la matrice ortogonale $P$ che diagonalizza $A$.
Eh ok... ma come faccio a trovarmi gli autovettori ortnormali? Una mia idea era che ad esempio $((2), (-1), (-1))$ poteva essere un autovettore di $W$ relativo all'autovalore $5$ e $((7), (0), (0))$ uno relativo a $7$ ovviamente da ortonormalizzare... ma non mi sembra un criterio be preciso per trovarli...
$W$ ti da la base di un autospazio di dimensione 2, da cui puoi trovare 2 vettori della base di autovettori.
Con l'altro autovalore trovi il terzo autovettore...
Hai ottenuto la base di autovettori, da qui diagonalizzare è semplice e sai anche qual'è la sua forma diagonale. concordi?
Con l'altro autovalore trovi il terzo autovettore...
Hai ottenuto la base di autovettori, da qui diagonalizzare è semplice e sai anche qual'è la sua forma diagonale. concordi?
No fu^2 non concordo purtroppo... su autovalori, autovettori e autospazi propio non ci sono.... ogni passo che mi dici ho una domanda:
1) Come fai a dire l'autospazio è di dimensione 2?
2) Come li trovo i 2 vettori?
3) E come uso l'altro autovalore per trovare il terzo vettore?
Sulla diagonalizzazione poi non dovrei aver problemi...
Grazie comunque!
1) Come fai a dire l'autospazio è di dimensione 2?
2) Come li trovo i 2 vettori?
3) E come uso l'altro autovalore per trovare il terzo vettore?
Sulla diagonalizzazione poi non dovrei aver problemi...
Grazie comunque!
"dannoman1988":
Di una matrice simmetrica $A in RR^(3xx3)$ è noto che
- $W={x in RR^3: x_1+x_2+x_3=0}$ è un autospazio di $A$ di autovalore $5$;
- $7$ è un autovalore di $A$.
Si diagonalizzi $A$ tramite una matrice ortogonale.
Facciamo un po' di ordine.
Per quanto riguarda l'autovalore $\lambda = 5$,
ti procuri una base ${w_1 ; w_2}$ ortonormale di $W$.
Per quanto riguarda invece l'autovalore $\lambda = 7$,
dal momento che $A$ è simmetrica basta prendere
un vettore $v$ ortogonale a $W$ e poi normalizzarlo
(un vettore ortogonale a $W$ è, chiaramente, $((1),(1),(1))$ ).
Una base ortonormale che diagonalizza $A$ è
${w_1 ; w_2 ; v}$ .
In concreto, una base può essere questa:
${((1/sqrt(2)),(-1/sqrt(2)),(0)) ; ((1/sqrt(6)),(1/sqrt(6)),(-2/sqrt(6))) ; ((1/sqrt(3)),(1/sqrt(3)),(1/sqrt(3)))}$
Osservazione: abbiamo trovato una base ortonormale che diagonalizza $A$
senza conoscere direttamente $A$, ma sapendo solo le proprietà descritte nel testo dell'esercizio.
L'esercizio è stato infatti pensato per essere risolto così.
ma perchè dite con sicurezza che l'autospazio legato all'autovalore $5$ e di dimensione $2$? da cosa lo capite?
Si Sergio hai ragione, ma anche un unico vettore potrebbe andar bene...la base formata dall'unico vettore $v=(x_1, x_2, x_3)=(1, -1, 0)$ soddisfa la condizione $x_1+x_2+x_3=0$ no? quindi non capisco perchè la base deve contenere necessariamente due vettori e non uno per esempio!
Sergio per quanto riguarda me mi sopravvaluti... 
sì vedendo quello che hai scritto, come l'hai risolto, ho capito il meccanismo per cui la dimensione è $2$. Ma da solo c'avrei messo non so quanto per arrivarci (forse). Perché la mia preparazione su algebra merita un capitolo a parte di cui è meglio non discutere ora visto che riempirei un topic 
(a proposito colgo l'occasione per ringraziarti del megalavoro che stai facendo su "l'algebra for dummies"! Così evito di imbrattare quel prezioso topic )
Comunque tornando all'esercizio:
perché "$A$ è simmetrica" $rArr$ "basta prendere un vettore $v$ ortogonale a $W$ e poi ortonormalizzarlo"?
@tinam73: perché altrimenti $x_3$ che te lo da a fare se poi lo tratti come una feccia e non lo utilizzi nella tua base? Credo che il concetto sia questo
sì vedendo quello che hai scritto, come l'hai risolto, ho capito il meccanismo per cui la dimensione è $2$. Ma da solo c'avrei messo non so quanto per arrivarci (forse). Perché la mia preparazione su algebra merita un capitolo a parte di cui è meglio non discutere ora visto che riempirei un topic (a proposito colgo l'occasione per ringraziarti del megalavoro che stai facendo su "l'algebra for dummies"! Così evito di imbrattare quel prezioso topic )Comunque tornando all'esercizio:
"franced":
Per quanto riguarda invece l'autovalore $\lambda = 7$,
dal momento che $A$ è simmetrica basta prendere
un vettore $v$ ortogonale a $W$ e poi normalizzarlo
(un vettore ortogonale a $W$ è, chiaramente, $((1),(1),(1))$ ).
perché "$A$ è simmetrica" $rArr$ "basta prendere un vettore $v$ ortogonale a $W$ e poi ortonormalizzarlo"?
@tinam73: perché altrimenti $x_3$ che te lo da a fare se poi lo tratti come una feccia e non lo utilizzi nella tua base? Credo che il concetto sia questo
@dannoman1988
No, perchè il vettore della base potrebbe anche essere $(-1, 2, -1)$ oppure $(7, 5, -12)$ la somma è sempre zero
No, perchè il vettore della base potrebbe anche essere $(-1, 2, -1)$ oppure $(7, 5, -12)$ la somma è sempre zero
Ok, ma una base non deve essere solo un vettore o un insieme di vettori linearmente indipendenti. In questo caso avresti ragione.
I vettori o il vettore che formano la base di un sottospazio vettoriale devono essere anche generatori di tale spazio.
In questo caso ad esempio con combinazioni lineari di $((-1), (2), (-1))$ non puoi generare $((1), (0), (-1))$ (che comunque sia è un vettore del sottospazio), e con $((7), (5), (-12))$ non puoi generare $((1), (-1), (0))$.
Invece con i due vettori della base che ha dato Sergio puoi generare entrambi i vettori di cui stiamo parlando... Ad esempio $((7), (5), (-12))=-5((1), (-1), (0))+12((1), (0), (-1))$. Capito...?
I vettori o il vettore che formano la base di un sottospazio vettoriale devono essere anche generatori di tale spazio.
In questo caso ad esempio con combinazioni lineari di $((-1), (2), (-1))$ non puoi generare $((1), (0), (-1))$ (che comunque sia è un vettore del sottospazio), e con $((7), (5), (-12))$ non puoi generare $((1), (-1), (0))$.
Invece con i due vettori della base che ha dato Sergio puoi generare entrambi i vettori di cui stiamo parlando... Ad esempio $((7), (5), (-12))=-5((1), (-1), (0))+12((1), (0), (-1))$. Capito...?
Sergio ci siamo accavallati... scusami non mi permetterai mai eheheh
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