Esercizio algebra - applicazione lineare e matrice associata
Sia $f: RR^3 \to RR^3$ l'applicazione lineare tale che
1) $f(v)= 2v$ $AA v in {x in RR^3: 2x_1 +2x_2 -x_3= 0}$
2) $f((2), (2), (-1))= ((6), (6), (-3))$.
Si determini $A in RR^(3xx3)$ tale che $f= L_a$ e si diagonalizzi $A$ tramite una matrice ortogonale.
Esercitandomi con altri testi mi sono abituato a determinare matrici associate ad applicazioni lineari con dati in forma parametrica (come in 2) ) e non intrinseca (come in 1) ). Questo mi crea difficoltà e purtroppo non so dove mettere le mani
1) $f(v)= 2v$ $AA v in {x in RR^3: 2x_1 +2x_2 -x_3= 0}$
2) $f((2), (2), (-1))= ((6), (6), (-3))$.
Si determini $A in RR^(3xx3)$ tale che $f= L_a$ e si diagonalizzi $A$ tramite una matrice ortogonale.
Esercitandomi con altri testi mi sono abituato a determinare matrici associate ad applicazioni lineari con dati in forma parametrica (come in 2) ) e non intrinseca (come in 1) ). Questo mi crea difficoltà e purtroppo non so dove mettere le mani
Risposte
Il primo punto determina un autospazio. Trova una base ortonormale dell'autospazio. Dopo di che determini la scomposizione di (2,2,-1) in un vettore dell'autospazio e un vettore nel suo spazio ortogonale. Quindi hai una base ortogonale che puoi trasformare in ortonormale.
Scusami vict, ho trovato la base ortonormale ($v_1'=(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2), 0), u=((1/2)/(3sqrt(2)/2), (1/2)/(3sqrt(2)/2), 2/(3sqrt(2)/2))$), ma non riesco a scomporre l'altro vettore e poi non capisco a cosa arrivo con i passaggi che mi hai descritto.
"vict85":
Il primo punto determina un autospazio. Trova una base ortonormale dell'autospazio. Dopo di che determini la scomposizione di (2,2,-1) in un vettore dell'autospazio e un vettore nel suo spazio ortogonale. Quindi hai una base ortogonale che puoi trasformare in ortonormale.
L'applicazione $f$ è definita nel modo seguente:
$f(v)= 2v$ $AA v in {x in RR^3: 2x_1 +2x_2 -x_3= 0}$
$f((2), (2), (-1))= ((6), (6), (-3))$.
se guardi bene il vettore $w = ((2),(2),(-1))$ è ortogonale al sottospazio
di equazione cartesiana $2 x_1 + 2 x_2 - x_3 = 0$ .
Non c'è niente da scomporre in quanto $w$ è autovettore;
per avere una base ortonormale di autovettori basta quindi
normalizzare $w$ e completare con una base ortonormale
del sottospazio $2 x_1 + 2 x_2 - x_3 = 0$.
Ok franced ho la base ortonormale di autovettori ($w'=(2/3, 2/3, -1/3)$, $v_1'=(-1/sqrt(2), 1/sqrt(2), 0)$, $u=((1/2)/(3sqrt(2)/2), (1/2)/(3sqrt(2)/2), 2/(3sqrt(2)/2))$)... e se non erro questa è sufficiente per definire l'unica applicazione lineare. Giusto? Adesso però non so come muovermi per avere la matrice...
"dannoman1988":
Sia $f: RR^3 \to RR^3$ l'applicazione lineare tale che
1) $f(v)= 2v$ $AA v in {x in RR^3: 2x_1 +2x_2 -x_3= 0}$
2) $f((2), (2), (-1))= ((6), (6), (-3))$.
Si determini $A in RR^(3xx3)$ tale che $f= L_a$ e si diagonalizzi $A$ tramite una matrice ortogonale.
L'endomorfismo $f$ univocamente determinato dalle seguenti condizioni:
$f((1),(0),(2)) = 2*((1),(0),(2))$
$f((0),(1),(2)) = 2* ((0),(1),(2))$
$f((2),(2),(-1)) = ((6),(6),(-3))$
si tratta di fare qualche conticino e ottieni la matrice $A$ che rappresenta $f$
rispetto alla base canonica in partenza e in arrivo.
Poi per quanto riguarda la base ortonormale basta fare un Gram-Schmidt sul
sottospazio di dimensione 2 e normalizzare il vettore $(2,2,-1)^T$.
Mio consiglio: per trovare la matrice $A$ ti conviene fare i conti con i vettori
che ti ho dato, altrimenti le radici ti danno un po' fastidio...
Ok franced se non sbaglio la matrice è $A=((2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2))$ ma scusami non ho capito perché devo trovare la base ortonormale e soprattutto come fare Gram-Shmidt sul sottospazio... so di essere un po' indietro e soprattutto duro, scusami!
"dannoman1988":
Ok franced se non sbaglio la matrice è $A=((2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2))$
No, direi proprio di no...
La matrice $A$ è ben diversa...
Ok l'ho ricalcolata, non so se torna ma non importa. Mi sono comunque accorto che avevo totalmente sbagliato metodo. Ma volevo sapere, queste due condizioni
le hai trovate sostituendo nel sottospazio dato, radici dell'equazione a tua scelta o ben precise? Grazie.
"franced":
$f((1),(0),(2)) = 2*((1),(0),(2))$
$f((0),(1),(2)) = 2* ((0),(1),(2))$
le hai trovate sostituendo nel sottospazio dato, radici dell'equazione a tua scelta o ben precise? Grazie.
Ho scritto quelle condizioni perché i due vettori stanno nel sottospazio $2x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$
e ogni vettore $v$ di quel sottospazio viene mandato in $f(v) = 2*v$.
Ti è chiaro ora?
e ogni vettore $v$ di quel sottospazio viene mandato in $f(v) = 2*v$.
Ti è chiaro ora?
Ok franced grazie mille! 
Prego!
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