Esercizio algebra

[pasqu3698]

Salve, avrei bisogno del vostro aiuto per un esercizio. E' dato f:R^4-->R^4 l' endomorfismo dato da: f(x,y,z,t)=(-2x-10t, 5y-7z, 2y-4z, x+5t). Devo determinare una base e dimensione del ker e dell' Immagine. Fin qui ci siamo, la base dell' IM mi viene ((-2,0,0,-10)(0,5,-7,0)(0,2,-4,0)). Ora dato U=[(x,y,z,t):x-7z-3t=0) determinare una base e dimensione dei sottospazi U+IM e U(intersezione)IM. Ho trovato una base di U ponendo x=7z+3t poi y=c,z=a,t=b. Così mi trovo una base di U= ((7,0,1,0)(3,0,0,1)(0,1,0,0)). Arrivato quì mi sono bloccato, ho cercato anche su questo forum, ma non sono riuscito a capire come trovare base e dimensione dei sottospazi somma e intersezione. Potete aiutarmi mostrandomi i passaggi? Quello su cui ho più difficoltà è il sottospazio intersezione. Vi ringrazio in anticipo.

[killing_buddha]

Quello su cui ho più difficoltà è il sottospazio intersezione.

Trova equazioni per i due sottospazi, mettile a sistema, risolvi il sistema, e bam. Finito.

[pasqu3698]

"killing_buddha":

Quello su cui ho più difficoltà è il sottospazio intersezione.

Trova equazioni per i due sottospazi, mettile a sistema, risolvi il sistema, e bam. Finito.

Quella di U è già data, ma come si trova quella dell' IM partendo solo da una Base,?

[killing_buddha]

Nello stesso modo in cui trovi le equazioni che vengono soddisfatte da una tupla di vettori e che definiscono il sottospazio che quei vettori generano: calcoli i minori $(k+1)\times(k+1)$ della matrice che ha per colonne le indeterminate $(X_1,...,X_n)$ e poi i $k$ vettori.

[pasqu3698]

"killing_buddha":Nello stesso modo in cui trovi le equazioni che vengono soddisfatte da una tupla di vettori e che definiscono il sottospazio che quei vettori generano: calcoli i minori $(k+1)\times(k+1)$ della matrice che ha per colonne le indeterminate $(X_1,...,X_n)$ e poi i $k$ vettori.

Scusa ma non ho capito, puoi mostrarmi un esempio svolto? Anche con un altro esercizio, perché non abbiamo mai fatto esercizi di questo tipo, ma sono usciti all' esame..

[pasqu3698]

Poi per quanto riguarda il secondo punto, ho pensato di mettere i vettori delle due basi {u1, U2, u3, v1, v2, v3} ed elimino quelli che sono combinazione lineare degli altri 5, è giusto così? Grazie per l'aiuto

[killing_buddha]

puoi mostrarmi un esempio svolto?

Certo. Prendi i tre vettori
\[

\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 3 & 3 \\
11 & 12 & 2 \\
5 & 4 & 8 \\
5 & 12 & 11 \\
7 & 10 & 7 \\
6 & 6 & 10 \\
\end{array}
\right)\]
in $QQ^6$; l'annullarsi dei minori 4x4 della matrice
\[

\left(
\begin{array}{cccc}
X_1 & 12 & 1 & 7 \\
X_2 & 7 & 2 & 9 \\
X_3 & 8 & 3 & 12 \\
X_4 & 6 & 12 & 8 \\
X_5 & 9 & 5 & 12 \\
X_6 & 1 & 3 & 8 \\
\end{array}
\right)\] significa esattamente che il vettore $(X_1, ..., X_6)$ appartiene al sottospazio generato dai tre vettori suddetti.

[pasqu3698]

"killing_buddha":

puoi mostrarmi un esempio svolto?

Certo. Prendi i tre vettori
\[

\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 3 & 3 \\
11 & 12 & 2 \\
5 & 4 & 8 \\
5 & 12 & 11 \\
7 & 10 & 7 \\
6 & 6 & 10 \\
\end{array}
\right)\]
in $QQ^6$; l'annullarsi dei minori 4x4 della matrice
\[

\left(
\begin{array}{cccc}
X_1 & 12 & 1 & 7 \\
X_2 & 7 & 2 & 9 \\
X_3 & 8 & 3 & 12 \\
X_4 & 6 & 12 & 8 \\
X_5 & 9 & 5 & 12 \\
X_6 & 1 & 3 & 8 \\
\end{array}
\right)\] significa esattamente che il vettore $(X_1, ..., X_6)$ appartiene al sottospazio generato dai tre vettori suddetti.

Io ho provato a fare in questo modo: ho scritto il generico vettore v di IM come combinazione lineare dei vettori della base di IM, in pratica v=a(0,5,-7,0)+b(0,2,-4,0)+c(1,0,0,5) e mi viene (c, 5a+2b, - 7a-4b, 5c). Ho imposto il passaggio di tale vettore per l'equazione di U e mi viene (con semplificazioni) 7a+4b-2c=0, pongo b e c come parametri ed ottengo 2 vettori (2/7,0,1) e (-4/7,1,0). Ora non so continuare... Per la somma ho costruito una matrice 4x6 con i vettori delle basi ed ho trovato un minore 4x4 con determinazione diverso da 0, e quindi dovrebbero costituire una base. Applicando grassmann la dim dell'intersezione dovrebbe venirmi 2, ma mi son venuti quei 2 vettori da 3 componenti... Come posso fare? Il metodo che mi hai mostrato purtroppo non l'ho ben capito..