Esercizio affinità:ellisse
Buonasera a tutti! Volevo chiedere un aiuto su questo esercizio sulle affinità
"Si consideri in $RR^2$ dotato della struttura affine, la conica $C$ di equazione $x^2/4+y^2/9=1$.
Dati $P,Q in C$, si dimostri che esiste un'affinità $f$ di $RR^2$ tale che $f(C)=C$ e $f(P)=Q$. Tale $f$ è lineare?
Non saprei come iniziare...avevo pensato che la condizione di invarianza rispetto a f della conica diventi una condizione sul centro(in questo caso l'origine). Sbaglio?
"Si consideri in $RR^2$ dotato della struttura affine, la conica $C$ di equazione $x^2/4+y^2/9=1$.
Dati $P,Q in C$, si dimostri che esiste un'affinità $f$ di $RR^2$ tale che $f(C)=C$ e $f(P)=Q$. Tale $f$ è lineare?
Non saprei come iniziare...avevo pensato che la condizione di invarianza rispetto a f della conica diventi una condizione sul centro(in questo caso l'origine). Sbaglio?
Risposte
E' semplice: fatti un disegnino dell'ellisse, prendi due punti distinti $P, Q$ a caso e pensa a come portare $P$ in $Q$ mantenendo invariata la conica. Inoltre le affinità mandano centri in centri, poiché il centro di $C$ è $(0, 0)$ allora puoi dedurre qualcosa anche sulla linearità.
Per mantenere invariata la conica, allora i punti P e Q dovrebbero essere simmetrici...o sbaglio?
Quindi $f(x,y)=-(x,y) AA (x,y) in RR^2$
Quindi $f(x,y)=-(x,y) AA (x,y) in RR^2$
Non è necessario, non esistono solo le riflessioni
Quindi dovrebbe andare bene anche una traslazione.
La rotazione invece no, dato che la conica deve rimanere invariata
La rotazione invece no, dato che la conica deve rimanere invariata
No, una traslazione l'ellisse te la sposta! Se tralsi $P$ in $Q$ trasli l'intera ellisse: provare per credere!
La rotazione va bene, l'uguaglianza $f(C) = C$ è insiemistica, non puntuale. Pensaci su e fammi sapere se ti torna
La rotazione va bene, l'uguaglianza $f(C) = C$ è insiemistica, non puntuale. Pensaci su e fammi sapere se ti torna
Quindi data la generica relazione $f(X)=AX+b$ con $A in (2,RR)$ e $b in RR^2$ devo porre $b=0$ (e questo dovrebbe sistemare la linearità) e trovare qualche relazione per determinare la matrice
"nick_10":
Quindi data la generica relazione $f(X)=AX+b$ con $A in (2,RR)$ e $b in RR^2$ devo porre $b=0$ (e questo dovrebbe sistemare la linearità) e trovare qualche relazione per determinare la matrice
$b = 0$ perché il centro va nel centro e quindi l'affinità è lineare, per il resto prova a fare due conti e vedi se riesci a esplicitare la matrice. Anche se va bene dire che è l'affinità cercata è la rotazione che porta $P$ in $Q$.
OK grazie! Ma anche per la rotazione i punti devono essere simmetrici?
"nick_10":
OK grazie! Ma anche per la rotazione i punti devono essere simmetrici?
No, non è necessario. Si parla di affinità, formalmente quello che fai è questo: porti l'ellisse nel suo modello canonico $x^2 + y^2 -1 = 0$ mediante un'affinità $\psi$, questa è una bellissima circonferenza su cui applichi la rotazione che manda $\psi(P)$ in $\psi(Q)$, fatto ciò riporti tutto indietro con $\psi^(-1)$ e vinci.
Ah okok grazie. Comunque non penso che in questo esercizio sia necessario trovare la matrice A
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo