Esercizio affinità
Ciao a tutti! Posto qui sotto un esercizio sulle affinità (che ahimè non sono il mio forte 
)
"Sia $C$ la conica di $RR^2$ di equazione $3x^2+2y^2-4xy+2x+4y+1=0$
a)Mostrare che per ogni $P in RR^2$ esiste un'affinità $f:RR^2 to RR^2$ tale che $f(P)=(0,0)$ e $f(C)$ è una circonferenza di raggio 1 e centro sull'asse x
b)Determinare il luogo dei punti $Q$ di $RR^2$ per cui esiste un'affinità $g:RR^2 to RR^2$ tale che $g(Q)=(0,0)$ e $g(C)$ è la circonferenza di raggio 1 con centro $(2,0)$
Allora studiando la conica, ho visto che rappresenta un'ellisse. Ora non so come impostare qualche equazione per trovare l'affinità $f=AX+b$ con $A in M(2,RR)$ e $b in RR^2$.
O magari come primo passo devo trovare la trasformazione/i che mi permettono di ridurre l'ellisse in forma canonica, e poi magari da lì incominciare a lavorare
Grazie in anticipo!
)"Sia $C$ la conica di $RR^2$ di equazione $3x^2+2y^2-4xy+2x+4y+1=0$
a)Mostrare che per ogni $P in RR^2$ esiste un'affinità $f:RR^2 to RR^2$ tale che $f(P)=(0,0)$ e $f(C)$ è una circonferenza di raggio 1 e centro sull'asse x
b)Determinare il luogo dei punti $Q$ di $RR^2$ per cui esiste un'affinità $g:RR^2 to RR^2$ tale che $g(Q)=(0,0)$ e $g(C)$ è la circonferenza di raggio 1 con centro $(2,0)$
Allora studiando la conica, ho visto che rappresenta un'ellisse. Ora non so come impostare qualche equazione per trovare l'affinità $f=AX+b$ con $A in M(2,RR)$ e $b in RR^2$.
O magari come primo passo devo trovare la trasformazione/i che mi permettono di ridurre l'ellisse in forma canonica, e poi magari da lì incominciare a lavorare
Grazie in anticipo!
Risposte
Inizia col farti un disegnino: disegna $C$ e poi prendi un punto $P$ a caso, in quale modo puoi esaudire le richieste del punto $a$? Applicare l'affinità $\phi$ che ti porta $C$ nel suo modello canonico certamente ti sposta $P$ in $\phi(P)$, come puoi portare $\phi(P)$ sull'asse delle ascisse? E una volta che il punto è sull'asse delle ascisse, come lo spostiamo al centro?
Allora disegnando l'ellisse vedo(anche dal termine xy) che i suoi assi non sono paralleli agli assi cartesiani(quindi magari dovrà essere ruotata). Per portare un generico punto P nell'origine, penso a una traslazione...
Non pensare troppo all'affinità che ti porta l'ellisse nella circonferenza, quella ce l'hai sempre. Una volta scelto il punto $P$ e applicato l'affinità $\phi$ che ti porta $C$ nella circonferenza, come puoi portare $\phi(P)$ sull'asse delle ascisse senza alterare la circonferenza(cioè in modo tale che l'affinità che applichi mandi la circonferenza in sé)?
Quindi devo applicare prima l'affinità $phi$(che dovrebbe essere una composizione di rotazioni e traslazioni), poi devo trasformare l'ellisse nella circonferenza, e per ultimo portare $phi(P)$ nell'origine mandando la circonferenza in sè?
Magari con una rotazione??
Magari con una rotazione??
L'affinità $\phi$ è quella che ti porta l'ellisse nella circonferenza.
Sì una rotazione va bene, sposti $P$ sull'asse delle $x$ mediante una rotazione, poi eventualmente lo trasli nel centro. Facendo la composizione di queste tre affinità trovi quella voluta.
Sì una rotazione va bene, sposti $P$ sull'asse delle $x$ mediante una rotazione, poi eventualmente lo trasli nel centro. Facendo la composizione di queste tre affinità trovi quella voluta.
Okok quando ho un po' di tempo provo a fare tutti i conti...sperando non siano molti xD
Allora ho iniziato a fare i conti. Ho calcolato il centro dell'ellisse che risulta $(-3,-4)$. Ho applicato la prima traslazione che è associata alla matrice $M_1=((1,0,-3),(0,1,-4),(0,0,1))$
Ora devo ruotare la matrice...per applicare la matrice di rotazione io sono solito calcolare autovalori e relativi autovettori(sono solito=conosco questo metodo). In questo caso però non mi sembra il metodo migliore...
Ora devo ruotare la matrice...per applicare la matrice di rotazione io sono solito calcolare autovalori e relativi autovettori(sono solito=conosco questo metodo). In questo caso però non mi sembra il metodo migliore...
Suppongo tu stia calcolando la prima affinità che ti porta la conica nel suo modello affine, per concludere basta portare la matrice in forma di Sylvester, l'affinità è data dal prodotto delle matrici che ti trasformano la matrice associata alla conica.
Ovvero devo trovare una base ortogonale?
Una base ortogonale normalizzata per la matrice che ottieni dopo aver applicato $M_1$
Scusa per il ritardo ma avevo da studiare per un esame
Ho ripreso l'esercizio e sono arrivato a questo punto. Ho la matrice $Q_1$ ottenuta dopo aver applicato la $M_1$: $Q_1=((3,-2,0),(-2,2,0),(0,0,-10))$. Ora cerco di trasformare $((3,-2),(-2,2))$ nella forma di Sylvester.
Prendo $v_1=e_1, v_2=e_2-2/3e_1$, dunque l'affinità cercata dovrebbe corrispondere a $M_2=((1,-2/3,0),(0,1,0),(0,0,1))$
Questa però mi pare non vada bene
Ho ripreso l'esercizio e sono arrivato a questo punto. Ho la matrice $Q_1$ ottenuta dopo aver applicato la $M_1$: $Q_1=((3,-2,0),(-2,2,0),(0,0,-10))$. Ora cerco di trasformare $((3,-2),(-2,2))$ nella forma di Sylvester.
Prendo $v_1=e_1, v_2=e_2-2/3e_1$, dunque l'affinità cercata dovrebbe corrispondere a $M_2=((1,-2/3,0),(0,1,0),(0,0,1))$
Questa però mi pare non vada bene
Ma tu devi trovare una base ortogonale normalizzata che ti porti $Q_1$ nella sua forma di sylvester!
Devi anche normalizzare.
Devi anche normalizzare.
Quindi la forma di $M_2$ è errata?
Sì, la matrice $M_2$ ortogonalizza e basta, non normalizza la diagonale.
In realtà non dovrebbe nemmeno ortogonalizzare, poiche dal conto esplicito ottengo:
$tM_2Q_1M_2$=$Q_2$=$((3,-4,0),(-4,6,0),(0,0,-10))$
$tM_2Q_1M_2$=$Q_2$=$((3,-4,0),(-4,6,0),(0,0,-10))$
Perché hai sbagliato un segno 
Dovrebbe essere $v_2 = e_2 + 2/3e_1$.
Dovrebbe essere $v_2 = e_2 + 2/3e_1$.
Ops... giusto!
Quindi la $M_2$ dovrebbe essere $((1,2/sqrt(13),0),(0,3/sqrt(13),0),(0,0,1))$?
Quindi la $M_2$ dovrebbe essere $((1,2/sqrt(13),0),(0,3/sqrt(13),0),(0,0,1))$?
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