Esercizio
Sia Ts l’applicazione lineare da R4 a R3 che manda i primi due vettori della base canonica di R4 nei primi due vettori della base canonica di R3 e ha per nucleo il sottospazio V = {(x, y, z, w)^t : x + 2z = 0, x + y + z + w = 0}.
a) Scrivere la matrice associata a T rispetto alle basi canoniche di R4 e R3
.
b) Stabilire per quali valori di k il vettore (2, k, k2 − 1)t appartiene a T(R4).
c) Stabilire se esista un’applicazione lineare ed iniettiva da R≤2[t] → R4 che abbia come immagine V ed, in caso di risposta affermativa, trovarla.
per il punto a se ho capito bene ho trovato che la matrice associata risulta essere (1 0) giusto?
(0 1)
(0 1)
per il secondo punto non ho chiaro cosa siano le applicazioni lineari.
grazie
a) Scrivere la matrice associata a T rispetto alle basi canoniche di R4 e R3
.
b) Stabilire per quali valori di k il vettore (2, k, k2 − 1)t appartiene a T(R4).
c) Stabilire se esista un’applicazione lineare ed iniettiva da R≤2[t] → R4 che abbia come immagine V ed, in caso di risposta affermativa, trovarla.
per il punto a se ho capito bene ho trovato che la matrice associata risulta essere (1 0) giusto?
(0 1)
(0 1)
per il secondo punto non ho chiaro cosa siano le applicazioni lineari.
grazie
Risposte
N.B. Per comodità di scrittura per indicare un vettore uso la notazione orizzontale, anziché quella verticale...
a)
Risulta $V=<-2z,y,z,z-y>$ con $y,z in mathbb{R}$
In particolare ponendo prima $y=0,z=1$ e poi $y=1,z=0$ si ottengono i vettori $(-2,0,1,1),(0,1,0,-1)$
In base alle ipotesi possiamo porre:
$T(1,0,0,0)=(1,0,0),T(0,1,0,0)=(0,1,0),T(-2,0,1,1)=(0,0,0),T(0,1,0,-1)=(0,0,0)$
Poiché i vettori $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(-2,0,1,1),(0,1,0,-1)$ sono linearmente indipendenti ( verificare !), le relazioni precedenti determinano la T in maniera univoca. Per calcolarne la matrice associata scelgo il metodo seguente .
Sia (x,y,z,w) il generico vettore di $mathbb{R^4}$ ed esprimiamolo in funzione dei vettori precedenti :
$(x,y,z,w)=a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(-2,0,1,1)+d(0,1,0,-1)$
Facendo gli opportuni calcoli hai che :
$(x,y,z,w)=(x+2z)(1,0,0,0)+(y-z+w)(0,1,0,0)+z(-2,0,1,1)+(z-w)(0,1,0,-1)$
Passando alle immagini risulta :
$f(x,y,z,w)=(x+2z)(1,0,0)+(y-z+w)(0,1,0)+z(0,0,0)+(z-w)(0,0,0)$
da cui :
$f(x,y,z,w)=(x+2z,y-z+w,0)$
Pertanto la matrice associata a T è :
$((1,0,2,0),(0,1,-1,1),(0,0,0,0))$
b)
Penso che si volesse scrivere: $(2,k,k^2-1)$
Se è così, per risolvere il quesito (b) basta osservare che $f(x,y,z,w)$ ha la terza componente sempre nulla e
quindi, per avere i richiesti valori di k, è sufficiente porre $k^2-1=0$ da cui $k_1=-1,k_2=+1$
Per il quesito (c) non riesco ad interpretare la scrittura R≤2[t] → R4
a)
Risulta $V=<-2z,y,z,z-y>$ con $y,z in mathbb{R}$
In particolare ponendo prima $y=0,z=1$ e poi $y=1,z=0$ si ottengono i vettori $(-2,0,1,1),(0,1,0,-1)$
In base alle ipotesi possiamo porre:
$T(1,0,0,0)=(1,0,0),T(0,1,0,0)=(0,1,0),T(-2,0,1,1)=(0,0,0),T(0,1,0,-1)=(0,0,0)$
Poiché i vettori $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(-2,0,1,1),(0,1,0,-1)$ sono linearmente indipendenti ( verificare !), le relazioni precedenti determinano la T in maniera univoca. Per calcolarne la matrice associata scelgo il metodo seguente .
Sia (x,y,z,w) il generico vettore di $mathbb{R^4}$ ed esprimiamolo in funzione dei vettori precedenti :
$(x,y,z,w)=a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(-2,0,1,1)+d(0,1,0,-1)$
Facendo gli opportuni calcoli hai che :
$(x,y,z,w)=(x+2z)(1,0,0,0)+(y-z+w)(0,1,0,0)+z(-2,0,1,1)+(z-w)(0,1,0,-1)$
Passando alle immagini risulta :
$f(x,y,z,w)=(x+2z)(1,0,0)+(y-z+w)(0,1,0)+z(0,0,0)+(z-w)(0,0,0)$
da cui :
$f(x,y,z,w)=(x+2z,y-z+w,0)$
Pertanto la matrice associata a T è :
$((1,0,2,0),(0,1,-1,1),(0,0,0,0))$
b)
Penso che si volesse scrivere: $(2,k,k^2-1)$
Se è così, per risolvere il quesito (b) basta osservare che $f(x,y,z,w)$ ha la terza componente sempre nulla e
quindi, per avere i richiesti valori di k, è sufficiente porre $k^2-1=0$ da cui $k_1=-1,k_2=+1$
Per il quesito (c) non riesco ad interpretare la scrittura R≤2[t] → R4
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo