Esercizietto sui sottospazi complementari

[y7xj0m]

Ciao ragazzi! Sono alle prime armi con degli esercizi di algebra lineare riguardanti gli spazi vettoriali. Sono ferma a questo:

dato il sottospazio \( \langle(1,2,1), (0,1,0)\rangle di \mathbb{Q}^3 \), dire quali dei seguenti sottospazi sono ad esso complementari:
-1- \( \langle0\rangle \)
-2- \( \mathbb{Q}^3 \)
-3- \( \langle(1,1,1)\rangle \)
-4- \( \langle(1,0,1)\rangle \)
-5- \( \{(x,y,z) \in {Q}^3 | x-y+z=0\} \)

1 e 2 mi sembra che abbiano una risposta immediata: il sottospazio banale non è mai indipendente e \( {Q}^3 \) non ha complementari con suoi sottospazi, giusto?
Ho provato a verificare gli altri e mi viene sempre che l'intersezione non è 0 e quindi non possono essere in somma diretta, dunque non sono complementari con il sottospazio di partenza... è corretto? Non riesco a capire se sbaglio conti... anche a voi risulta così?

[weblan]

Due sottospazi vettoriali sono complementari se la loro intersezione si riduce al vettore nullo.

In maniera banale solo il primo.

[y7xj0m]

ma da quello che ho capito, per essere complementari, la loro somma deve dare tutto lo spazio Q3 quindi in teoria neanche il primo è complementare... o sbaglio?

[weblan]

Allora tu intendi dire che sono supplementari. Ci dobbiamo chiarire su questo punto.

Mi spiego meglio. Supponiamo di stare in $RR^3$,

$H=<(1,0,0),(0,1,0)>$ e $K=<(0,0,1)>$ per me sono supplementari.

$H=<(1,0,0)>$ e $K=<(0,1,0)>$ per me sono complementari.

[y7xj0m]

capisco, allora e' un problema di definizioni diverse per Candilera-Bertapelle:
supplementari = complementari
complementari = in somma diretta
Comunque grazie mille!