Esercizietto su rette e piani

[sigma1]

Date le equazioni parametriche delle due rette sghembe (gia' verificato):

r: x=t, y=1-t, z=2t

s: x=t', y=t', z=2t'-1

Si trovi la retta m che le incontra entrambe ortogonalmante.

La prima cosa che ho pensato e'

r e' parallela al vettore v (1, -1, 2)
s e' parallela al vettore u (1, 1, 2)

Allora m sara' parallela al prodotto vettoriale di v e u, cioe' risolvendo dovra' essere parallela al vettore (-4, 0, 2). Fin qua' e' corretto?

[giacor86]

yes, ne abiamo fatto oggi in classe uno simile.

[sigma1]

Mmm. Pero' la soluzione suggerita dal testo e' il set di equaz parametriche x=3/10 -2/5t, y = 7/10, z = 3/5 -4/5t.

Come vedi si tratterebbe di una retta parallela al vettore (-2/5, 0, -4/5) che non e' parallelo a (-4, 0,2).... Idee?

[Sk_Anonymous]

Sia P(t,1-t,2t) il generico punto di r e Q(t',t',2t'-1) quello di s.
Per avere la comune perpendicolare ad r ed s occorre che la congiungente di P e Q
sia normale sia ad r che ad s e dunque deve essere(°=simbolo di prodotto scalare):
(t-t',1-t-t',2t-2t'+1)°(1,-1,2)=0
(t-t',1-t-t',2t-2t'+1)°(1,1,2)=0
da cui il sistema :
6t-4t'=-1
4t-6t'=-3
e pertanto t=3/10 e t'=7/10.Ne segue che e' P(3/10,7/10,6/10) e Q(7/10,7/10,4/10)
La retta PQ e' la retta cercata e le sue equazioni parametriche sono:
x=3/10+t(3/10-7/10)=3/10-2/5*t
y=7/10+t*0=7/10
z=6/10+t(6/10-4/10)=3/5+1/5*t
Non mi trovo con la z ma comunque questo e' il procedimento
(in effetti la retta suggerita dal libro non e' normale ad entrambe le rette date).
Archimede.

[sigma1]

Perfetto, questa e' la soluzione che poi ho trovato anch'io. Deve trattarsi di un typo nel libro, grazie mille