Esercizi vari
Purtroppo nell'esame ci sono sempre esercizi che mi mettono in crisi come nient'altro al mondo 
Eccone altri da cui non ne vengo fuori:
(a) Sia W uno spazio vettoriale di dimensione maggiore di uno.
Se per due sottospazi vettoriali U,V di W vale $dimU + dimV < dimW rarr UnnV = {0} $
Dalla soluzione mi viene detto che è falsa. Basta prendere $W = R^3, U = span(e_(1),e_(2)), V = span(e_(1)+e_(2)).$
La base di U non contiene alcun elemento di V, ma $VnnU = W$ che è diverso da zero. (simbolo per "diverso"?
)
---> Qua non capisco come l'intersezione di U e V dia W, cioè R^2...
(b) Sia $T:R^3rarrR^4$ data da:
$T| ( x ),( y ),( z ) | = | ( y+z ),( 2x+y-z ),( z ),( 2x+2y ) | $
Trovare dimensione e base per $T(U) nn T(W)$, dove:
$U = span( | ( 2 ),( 1 ),( 0 ) |, | ( 0 ),( -1 ),( 2 ) |) $
$W = span( | ( -1 ),( 0 ),( 1 ) |, | ( 0 ),( 1 ),( 0 ) |) $
---> Qui invece non mi è chiaro come ottenere l'immagine di uno span, cioè di una combinazione lineare di vettori. Finchè il vettore è uno nessun problema, ma in questo caso?
(c) Si consideri nel campo complesso l'equazione $z^4 = (3i)^8$. Determinarne le soluzioni.
---> Come soluzione, vengono forniti 4 (e non due come pensavo io) termini: $ +-3^2=+-9 $ e $ +-9i $.
Chiedo aiuto, grazie
P.S. Li ho raggruppati in un unico post perchè dovrebbero essere piuttosto rapidi, chiedo scusa se ho sbagliato.
Eccone altri da cui non ne vengo fuori:
(a) Sia W uno spazio vettoriale di dimensione maggiore di uno.
Se per due sottospazi vettoriali U,V di W vale $dimU + dimV < dimW rarr UnnV = {0} $
Dalla soluzione mi viene detto che è falsa. Basta prendere $W = R^3, U = span(e_(1),e_(2)), V = span(e_(1)+e_(2)).$
La base di U non contiene alcun elemento di V, ma $VnnU = W$ che è diverso da zero. (simbolo per "diverso"?
) ---> Qua non capisco come l'intersezione di U e V dia W, cioè R^2...
(b) Sia $T:R^3rarrR^4$ data da:
$T| ( x ),( y ),( z ) | = | ( y+z ),( 2x+y-z ),( z ),( 2x+2y ) | $
Trovare dimensione e base per $T(U) nn T(W)$, dove:
$U = span( | ( 2 ),( 1 ),( 0 ) |, | ( 0 ),( -1 ),( 2 ) |) $
$W = span( | ( -1 ),( 0 ),( 1 ) |, | ( 0 ),( 1 ),( 0 ) |) $
---> Qui invece non mi è chiaro come ottenere l'immagine di uno span, cioè di una combinazione lineare di vettori. Finchè il vettore è uno nessun problema, ma in questo caso?
(c) Si consideri nel campo complesso l'equazione $z^4 = (3i)^8$. Determinarne le soluzioni.
---> Come soluzione, vengono forniti 4 (e non due come pensavo io) termini: $ +-3^2=+-9 $ e $ +-9i $.
Chiedo aiuto, grazie
P.S. Li ho raggruppati in un unico post perchè dovrebbero essere piuttosto rapidi, chiedo scusa se ho sbagliato.
Risposte
Ti posso aiutare solo nel terzo esercizio
$z^4=(3i)^8$ cioè $z^4=9^4$, è un'equazione di quarto grado in $CC$, quindi ammette 4 soluzioni, il modulo delle soluzioni è $|z|=9$ e poi ti restano da trovare le radici quarte dell'unità che puoi trovare algebricamente, graficamente o attraverso la forma goniometrica dei numeri complessi.
Questo caso particolare può essere risolto molto semplicemente anche solo per via algebrica:
$root(4)1 = sqrt(+-1)$ che si divide in
$sqrt1= +-1$ e $sqrt(-1)=+-i$
Per cui le soluzioni sono
$z_(1,2)=+-9$ e $z_(3,4) = +-9i$
$z^4=(3i)^8$ cioè $z^4=9^4$, è un'equazione di quarto grado in $CC$, quindi ammette 4 soluzioni, il modulo delle soluzioni è $|z|=9$ e poi ti restano da trovare le radici quarte dell'unità che puoi trovare algebricamente, graficamente o attraverso la forma goniometrica dei numeri complessi.
Questo caso particolare può essere risolto molto semplicemente anche solo per via algebrica:
$root(4)1 = sqrt(+-1)$ che si divide in
$sqrt1= +-1$ e $sqrt(-1)=+-i$
Per cui le soluzioni sono
$z_(1,2)=+-9$ e $z_(3,4) = +-9i$
Grazie mille @melia! 
Ciao, provo a risponderti io
Punto 1
Per come hai scritto le cose $U nn V$ non è uguale a $\mathbb{R}^3$.
Nota che $e_1 + e_2 \in Span(e_1, e_2)$ per cui $Span(e_1 + e_2) \subset Span(e_1, e_2)$ da cui $Span(e_1 + e_2) nn Span(e_1, e_2) = Span(e_1 + e_2) != {0}$, il simbolo per non uguale è "!="(comunque nota che nell'editor c'è un pulsante con su scritto "Simboli LaTex", se lo clicchi ti aprirà in un'altra pagina un pdf con l'elenco di tutti i simboli necessari per scrivere in matematichese)
Punto 2
prendiamo per esempio $U$, $U$ è generato da ${| ( 2 ),( 1 ),( 0 ) |, | ( 0 ),( -1 ),( 2 ) |}$, dunque l'immagine $U$ mediante $T$ è completamente determinata una volta capito dove vengono mandati tali vettori(perché?):
$T(| ( 2 ),( 1 ),( 0 ) |) = | (1), (5), (0), (6)|$
e
$T( | ( 0 ),( -1 ),( 2 ) |) = | (1), (-3), (2), (-2)|$
Se ho fatto bene i conti(controlla) hai che $T(U) = Span( | (1), (5), (0), (6)|, | (1), (-3), (2), (-2)|)$
Con lo stesso procedimento si trova $T(W)$.
Ciao
Punto 1
Per come hai scritto le cose $U nn V$ non è uguale a $\mathbb{R}^3$.
Nota che $e_1 + e_2 \in Span(e_1, e_2)$ per cui $Span(e_1 + e_2) \subset Span(e_1, e_2)$ da cui $Span(e_1 + e_2) nn Span(e_1, e_2) = Span(e_1 + e_2) != {0}$, il simbolo per non uguale è "!="(comunque nota che nell'editor c'è un pulsante con su scritto "Simboli LaTex", se lo clicchi ti aprirà in un'altra pagina un pdf con l'elenco di tutti i simboli necessari per scrivere in matematichese)
Punto 2
prendiamo per esempio $U$, $U$ è generato da ${| ( 2 ),( 1 ),( 0 ) |, | ( 0 ),( -1 ),( 2 ) |}$, dunque l'immagine $U$ mediante $T$ è completamente determinata una volta capito dove vengono mandati tali vettori(perché?):
$T(| ( 2 ),( 1 ),( 0 ) |) = | (1), (5), (0), (6)|$
e
$T( | ( 0 ),( -1 ),( 2 ) |) = | (1), (-3), (2), (-2)|$
Se ho fatto bene i conti(controlla) hai che $T(U) = Span( | (1), (5), (0), (6)|, | (1), (-3), (2), (-2)|)$
Con lo stesso procedimento si trova $T(W)$.
Ciao
Mamma mia Shocker, semplice ed esauriente 
Grazie!
Grazie!
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