Esercizi teorici algebra lineare

[rasakkandar]

Ciao a tutti, ho tra le mani un paio di esercizi teorici di cui ho un abbozzo di soluzione:

1) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $KK$. Si dimostri che se $f ∈ End(V)$ è diagonalizzabile, allora per ogni intero $n ≥ 2$ l’endomorfismo $f^n$ è diagonalizzabile. E' vero che se $f ∈ End(V)$ è tale che esista $n ≥ 2$ tale che $f^n$ è diagonalizzabile, allora f è diagonalizzabile?

Allora, parto considerando la matrice rappresentativa M associata all'endomorfismo f. Questa matrice, essendo f diagonalizzabile, è simile a una matrice diagonale: $D=P^-1AP$.

D'altro canto alla composizione di funzioni corrisponde il prodotto tra le rispettive matrici rappresentative, quindi, nel caso n=2, ho tra le mani il seguente prodotto:

$A*A=A^2=PDP^-1*PDP^1=(PDP^-1)^2$

Quindi la matrice rappresentativa di $f^2$, e generalizzando di $f^n$, è simile ad una potenza di una matrice diagonale che è ancora diagonale, e dunque l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Funziona?

2)Sia $Mat_(n,n)(RR)$ lo spazio delle matrici quadrate a coefficienti in R. Si mostri che se $A ∈ Mat_(n,n)(RR)$ è una matrice diagonalizzabile con tutti gli autovalori positivi allora esiste una matrice B ∈ $Mat_(n,n)(RR)$ tale che $B^2 = A$.

Allora, qui io partirei manipolando la tesi, ma non so se è lecito farlo o se mi porta da qualche parte: $B^2=A=B*B rarr I=B^-1AB$. Qui però non ho molte idee e gradirei davvero una mano. Grazie in anticipo

[anonymous_0b37e9]

Per esempio (n=2):

$B=((t_(11),t_(12)),(t_(21),t_(22)))((sqrt(\lambda_1),0),(0,sqrt(lambda_2)))((t_(11),t_(12)),(t_(21),t_(22)))^(-1)$

poiché:

$A=((t_(11),t_(12)),(t_(21),t_(22)))((\lambda_1,0),(0,lambda_2))((t_(11),t_(12)),(t_(21),t_(22)))^(-1)=$

$=((t_(11),t_(12)),(t_(21),t_(22)))((sqrt(\lambda_1),0),(0,sqrt(lambda_2)))((sqrt(\lambda_1),0),(0,sqrt(lambda_2)))((t_(11),t_(12)),(t_(21),t_(22)))^(-1)=$

$=((t_(11),t_(12)),(t_(21),t_(22)))((sqrt(\lambda_1),0),(0,sqrt(lambda_2)))((t_(11),t_(12)),(t_(21),t_(22)))^(-1)((t_(11),t_(12)),(t_(21),t_(22)))((sqrt(\lambda_1),0),(0,sqrt(lambda_2)))((t_(11),t_(12)),(t_(21),t_(22)))^(-1)$

[rasakkandar]

Fantastico, ti ringrazio!

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il primo esercizio, mentre la prima implicazione è senz'altro vera, la seconda è senz'altro falsa.