Esercizi sulle funzioni lineari, ci ho capito qualcosa?

[97.russo]

Questo è il testo dell'esercizo potete dare uno sguardo al procedimento che ho seguito per dirmi se lo svolgimento è corretto?E se fosse un esercizio di un compito sarebbe sufficientemente giustificato?
Sia f : R3 → R3 l’endomorfismo tale che $\vec v = (1,−1,2)$ appartenga a $\kerf$ e, inoltre, $\f(0,0,−1) = (1,−1,0), f(1,1,0) = (2,0,−4)$
(a) Determinare f esplicitamente.
(b) Determinare $\kerf$ e $\Imf$.
(c) Stabilire se $\f$ e semplice.
.

(a)
Se $\vec v in ker f => f(v)=vec 0$
Ora imposto il sistema considerando i vettori dati e il loro valore dopo aver applicato la funzione
$\{(f(vec e_1)-f(vec e_2)+2f(vec e_3)=0),(f(vec e_3)=vec e_1-vec e_2),(f(vec e_1)+f(vec e_2)=2vec e_1-4vec e_3):} => {(f(vec e_1)=vec e_2-2vec e_3),(f( vec e_2)=2vec e_1-vec e_2-2vec e_3),(f(vec e_3)=vec e_1-vec e_2):}$
Pongo
$\A={M}_C^{C}(f)=((0,2,1),(1,-1,-1),(-2,-2,-2))$
f si determina esplicitamente tramite $\f=AX$ con $\X=((x,y,z))^T$ da cui $\f(x,y,z)=(2x+z,x-y-z,-2x-2y)$.

(b)Per determinare $\Ker f$ e $\Im f$ calcolo le loro dimensioni:
$\Dim Im f= rg(A)=3$, per il teorema fondamentale dell'algebra lineare ($\Dim D= Dim Ker f + Dim Im f$) concludiamo che $\Dim Ker f=0 => Ker f={vec 0}$ mentre per definire l'immagine in quanto $\Dim Im f=3$ prendiamo tre vettori di $\A$ quindi $\Im f=$ insieme di generatori$\{(0,1,-2),(2,-1,-2),(1,-1,0)}$.

(c)
$\f$ semplice $\<=> P_A(lambda)$ ha tutte radici reali e la loro molteplicità algebrica è uguale alla molteplicità geometrica di $\P_A(lambda)$.
$\P_A(lambda)=|A-lambda I|=>P_A(lambda)=-lambda(lambda+lambda^2+2)$(verificate per favore)
quindi troviamo le radici
$\P_A(lambda)=0<=> {(lambda_1=0),(lambda_(2)=-1+sqrt(-7)),(lambda_(2)=-1-sqrt(-7)):}$
$\sqrt(-7) notin R=> f$ non è semplice? O si prosegue con i numeri complessi

[cooper1]

purtroppo mi sembra sia sbagliato e avresti potuto benissimo accorgertene da solo prestando un po' di attenzione alla traccia e alle conclusioni che hai tratto. ma procediamo con ordine:
1.
la $f$ non può essere quella scritta da te perchè se sostituisci i vettori di partenza non ottieni le immagini che ti da la traccia. a titolo di esempio $ f(0,0,-1)=(2*0+(-1), ..., ...) $ già la prima componente è diversa da quella della traccia.
sinceramente non ho nemmeno capito come hai fatto a calcolare la $f$. io scriverei la matrice rappresentativa tenendo presente che:

$ f(0,0,-1)=(1,-1,0) ^^ f(1,1,0)=(2,0,-4)^^ f(1,-1,2)=(0,0,0) $

dove l'ultima deriva dal fatto che il vettore v appartiene al nucleo.
svolgendo i calcoli a me viene $ f=(2x-z, -x+y+z, -2x-2y) $
2.
evidentemente NON può essere che il nucleo abbia dimensione nulla! hai un vettore ( $ vec v $ ) che ci appartiene!
per risolvere questo punto io ragionerei così:
dal teorema di nullità + rango abbiamo che $ dim(ker f)=1 ^^ dim (Im f)=2 $
sapendo questo io concluderei perchè allora il vettore $vec v$ è l'unico del nucleo e poichè l'immagine è generata dai vettori che formano le colonne della matrice rappresentativa, hai anche l'immagine.
3.
a questo punto devi rifare i conti e vedere cosa esce prchè la matrice rappresentativa su cui hai fatti i conti è sbagliata.
spero di non aver detto qualche cavolata, intanto
saluti!

[feddy]

a) per risolvere questo punto si sfrutta la linearità della funzione. La tua matrice non va bene purtroppo. Devi trovare il modo di ottenere le immagini dei vettori della base canonica

b) hai commesso un grave errore concettuale. Come può la dimensione del nucleo essere 0? Per ipotesi sai che esiste un vettore che viene mappato nel $vec0$.

c)il polinomio caratteristico è ovviamente diverso dalla matrice che hai trovato. Ad ogni modo, sono solo conti


EDIT: cooper mi ha anticipato