Esercizi sulle coniche
Ciao a tutti, io avrei il seguente problema:
ho queste tre equazioni di coniche:
1) $ 2y^(2)-2sqrt 3 xy +3=0 $
2) $ 4x^(2) +4xy+y^(2)+2x-y=0 $
3) $ 3x^(2)+2xy+3y^(2)+2sqrt(2)x=0 $
e mi viene chiesto di classificarle, ridurle in forma canonica e trovare gli eventuali asintoti, vertici, centro e assi...
per la prima parte, ovvero classificarle e ridurle i forma canonica non ho problemi, mi viene che:
1)è un'iperbole, la forma canonica è
$ X^(2) / 3 - Y^(2)=1 $
eq movimento rigido:
$ ( ( x ),( y ) )=( ( sqrt(3)/2 , -1/2 ),( 1/2 , sqrt(3)/2 ) )( ( X ),( Y ) ) $
2)è una parabola, la forma canonica è
$ Y^(2)= - 4sqrt(5)/25 X^(2) $
eq movimento rigido:
$ ( ( x ),( y ) )=( ( sqrt(5)/5 , 2sqrt(5)/5 ),( -2sqrt(5)/5 , sqrt(5)/5 ) )( ( X ),( Y ) )+( ( -39/400 ),( -21/200 ) ) $
3)è un'ellisse, la forma canonica è:
$ X^(2)/(3/8)+Y^(2)/(3/16)=1 $
eq movimento rigido:
$ ( ( x ),( y ) )=( ( 1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) ) )( ( X ),( Y ) )-( ( 3/(4sqrt(2) ) ),( -1/(4sqrt(2) ) ) ) $
dopo questo dovrei trovare assi, asintoti e tutto il resto, solo non riesco a capire come si fa...me lo potreste spiegare?Grazie mille in anticipo!
ho queste tre equazioni di coniche:
1) $ 2y^(2)-2sqrt 3 xy +3=0 $
2) $ 4x^(2) +4xy+y^(2)+2x-y=0 $
3) $ 3x^(2)+2xy+3y^(2)+2sqrt(2)x=0 $
e mi viene chiesto di classificarle, ridurle in forma canonica e trovare gli eventuali asintoti, vertici, centro e assi...
per la prima parte, ovvero classificarle e ridurle i forma canonica non ho problemi, mi viene che:
1)è un'iperbole, la forma canonica è
$ X^(2) / 3 - Y^(2)=1 $
eq movimento rigido:
$ ( ( x ),( y ) )=( ( sqrt(3)/2 , -1/2 ),( 1/2 , sqrt(3)/2 ) )( ( X ),( Y ) ) $
2)è una parabola, la forma canonica è
$ Y^(2)= - 4sqrt(5)/25 X^(2) $
eq movimento rigido:
$ ( ( x ),( y ) )=( ( sqrt(5)/5 , 2sqrt(5)/5 ),( -2sqrt(5)/5 , sqrt(5)/5 ) )( ( X ),( Y ) )+( ( -39/400 ),( -21/200 ) ) $
3)è un'ellisse, la forma canonica è:
$ X^(2)/(3/8)+Y^(2)/(3/16)=1 $
eq movimento rigido:
$ ( ( x ),( y ) )=( ( 1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) ) )( ( X ),( Y ) )-( ( 3/(4sqrt(2) ) ),( -1/(4sqrt(2) ) ) ) $
dopo questo dovrei trovare assi, asintoti e tutto il resto, solo non riesco a capire come si fa...me lo potreste spiegare?Grazie mille in anticipo!
Risposte
Per trovare gli asintoti devi trovare le rette tangenti a tali coniche nei loro punti impropri; il centro è l'intersezione delle rette polari rispetto alle date coniche dei punti ciclici del piano; gli assi a questo momento non ricordo!
Grazie della risposta però ancora non riesco a calcolarli...non so proprio come impostare i calcoli...perchè non so come trovare le rette polari e i punti ciclici e impropri...
Prima di impostarti i conti devo chiederti una cosa: conosci la geometria proiettiva?
Prima impostarti i conti devo chiederti una cosa: conosci la geometria proiettiva?
Edit: Errore di connessione indipendente dalla mia volontà per cui il messaggio è stato immesso 2 volte!
Edit: Errore di connessione indipendente dalla mia volontà per cui il messaggio è stato immesso 2 volte!
no sono al corso di geometria 1...
Spiacente che non ti possa aiutare in quanto le coniche (e le quadriche) le ho studiate in ambiente proiettivo; in ambiente affine non né ho la minima idea! 
i miei appunti parlano di emplice geometria analitica...non so se comprende anche la proiettiva...
La geometria proiettiva è argomento dell'esame di geometria II! In geometria I si fanno spazi vettoriali e geometria analitica o tecnicamente parlando algebra lineare e geometria affine.
Mi ripeto che non sono in grado di aiutarti!
Mi ripeto che non sono in grado di aiutarti!
ah ok...allora grazie lo stesso!
Ecco 2 aiuti parziali: http://it.wikipedia.org/wiki/Iperbole_(geometria) http://it.wikipedia.org/wiki/Parabola_(geometria).
Ciao Aly,
vediamo se riesco a darti una mano con queste coniche.
Dunque per prima cosa, bisogna ragionare: stai tranquilla, non è nulla di difficile basta pensarci un attimo.
Prendi una bella ellisse. Un'ellisse normalissima come quelle che eri abituata a vedere prima di questo corso: una roba del tipo $x^2/a^2+y^2/b^2=1$: ok fin qui?
Scommetto tutto quello che vuoi che sei perfettamente capace di trovare i vertici (=p.ti di intersezione con gli assi) di quest'ellisse. Come si fa?
Se sei capace - come credo - a rispondere a questa domanda sei a posto. Infatti, quando hai una conica, tu la riduci a forma canonica: ad esempio, qui (non ho controllato i conti)
Ma tu sei capace (vedi sopra) a ricavarti i vertici dell'ellisse $ X^(2)/(3/8)+Y^(2)/(3/16)=1 $, dico bene? solo che li trovi nel sistema di riferimento "nuovo". Cioè tu trovi che il vertice A per esempio ha coordinate $(X,Y)=(a,b)$. Ma a noi servono nel sistema $(x,y)$... come fare?
Be', molto diligentemente, hai scritto le equazioni del movimento rigido...
vediamo se riesco a darti una mano con queste coniche.
Dunque per prima cosa, bisogna ragionare: stai tranquilla, non è nulla di difficile basta pensarci un attimo.
Prendi una bella ellisse. Un'ellisse normalissima come quelle che eri abituata a vedere prima di questo corso: una roba del tipo $x^2/a^2+y^2/b^2=1$: ok fin qui?
Scommetto tutto quello che vuoi che sei perfettamente capace di trovare i vertici (=p.ti di intersezione con gli assi) di quest'ellisse. Come si fa?
Se sei capace - come credo - a rispondere a questa domanda sei a posto. Infatti, quando hai una conica, tu la riduci a forma canonica: ad esempio, qui (non ho controllato i conti)
"AlyAly":
ho queste tre equazioni di coniche: [...]
3) $ 3x^(2)+2xy+3y^(2)+2sqrt(2)x=0 $
[...]
3)è un'ellisse, la forma canonica è:
$ X^(2)/(3/8)+Y^(2)/(3/16)=1 $
eq movimento rigido:
$ ( ( x ),( y ) )=( ( 1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) ) )( ( X ),( Y ) )-( ( 3/(4sqrt(2) ) ),( -1/(4sqrt(2) ) ) ) $
Ma tu sei capace (vedi sopra) a ricavarti i vertici dell'ellisse $ X^(2)/(3/8)+Y^(2)/(3/16)=1 $, dico bene? solo che li trovi nel sistema di riferimento "nuovo". Cioè tu trovi che il vertice A per esempio ha coordinate $(X,Y)=(a,b)$. Ma a noi servono nel sistema $(x,y)$... come fare?
Be', molto diligentemente, hai scritto le equazioni del movimento rigido...
allora i vertici se non sbaglio sono dati da $ V1(a,0) $ e $ V2(-a,0) $ ...poichè $ a^(2)=3/8 $ ho che $ a=sqrt(3)/(2sqrt(2) ) $ però immagino che questo sia in X,Y...da qui cosa devo fare? Li devo sostituire nella matrice? Se ad esempio sostituisco v1 nella matrice mi viene $ ((sqrt(6)-3)/(4sqrt(2) ),(1-sqrt(6))/(4sqrt(2) )) $ però non so se è giusto...
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