Esercizi sulle coniche
Sera, avrei dei dubbi sugli esercizi delle coniche
1) Nel fascio di coniche tangenti nell'origine alla retta x-y = 0; passanti
per il punto improprio della retta x + y + 2 = 0 e per il punto Q(0; 1; 1);
stabilire se ci sono parabole.
2)Stabilire se vi sono parabole nel fascio di coniche tangenti all'asse x
nell'origine, passanti per il punto improprio della retta y = x e per P(1; 2)
3)Determinare un'equazione cartesiana per l'ellisse tangente alla retta
y − 2x + 1 = 0 nel punto (1; 1; 1) passante per l'origine e per il punto
(1; 2i; 0)
4) Determinare un'equazione cartesiana per l'iperbole equilatera avente
come asintoto la retta y-2x+4 = 0; passante per l'origine e per P = (3; 1).
5) Determinare un'equazione cartesiana per l'iperbole equilatera tangente
alla retta x-3y+1 = 0 nel punto (2; 1) passante per l'origine e per il punto
improprio dell'asse y
6)Stabilire se esistono, ed eventualmente determinarle, parabole pas-
santi per i punti P(1; 2);Q(3; 0) e tangenti nel punto R(2; 1) alla retta di
equazione x - y - 1 = 0
Grazie in anticipo a tutti per l'aiuto, io non so proprio dove mettere le mani.
1) Nel fascio di coniche tangenti nell'origine alla retta x-y = 0; passanti
per il punto improprio della retta x + y + 2 = 0 e per il punto Q(0; 1; 1);
stabilire se ci sono parabole.
2)Stabilire se vi sono parabole nel fascio di coniche tangenti all'asse x
nell'origine, passanti per il punto improprio della retta y = x e per P(1; 2)
3)Determinare un'equazione cartesiana per l'ellisse tangente alla retta
y − 2x + 1 = 0 nel punto (1; 1; 1) passante per l'origine e per il punto
(1; 2i; 0)
4) Determinare un'equazione cartesiana per l'iperbole equilatera avente
come asintoto la retta y-2x+4 = 0; passante per l'origine e per P = (3; 1).
5) Determinare un'equazione cartesiana per l'iperbole equilatera tangente
alla retta x-3y+1 = 0 nel punto (2; 1) passante per l'origine e per il punto
improprio dell'asse y
6)Stabilire se esistono, ed eventualmente determinarle, parabole pas-
santi per i punti P(1; 2);Q(3; 0) e tangenti nel punto R(2; 1) alla retta di
equazione x - y - 1 = 0
Grazie in anticipo a tutti per l'aiuto, io non so proprio dove mettere le mani.
Risposte
Gli esercizi sono tutti un po' simili e quindi ti posto la soluzione del primo che ti servirà come modello per i rimanenti.
1) Le coniche richieste passano doppiamente per il punto $O(0,0,1)$ ed una volta sola per i punti
$P(1,-1,0)$ [punto improprio della retta $x+y+2=0$] e $Q(0,1,1)$. Hai quindi 4 punti disponibili per scrivere l'equazione del fascio che è simbolicamente la seguente:
$lambda(OO cdot PQ )+mu(OP cdot OQ)=0$
dove la retta $OO$ è la tangente data, di equazione $x-y=0$
Passando ai calcoli si ha il fascio di equazione :
(1) $lambda(x-y)(x+y-1)+mu x(x+y)=0$
Imponendo la condizione per ottenere la/e parabola/e si ha la relazione:
$mu^2+4 lambda mu+4 lambda^2=0$ da cui $mu=-2 lambda$
Sostituendo nella (1) si ha l'equazione dell'unica parabola del fascio :
$(x+y)^2+(x-y)=0$
1) Le coniche richieste passano doppiamente per il punto $O(0,0,1)$ ed una volta sola per i punti
$P(1,-1,0)$ [punto improprio della retta $x+y+2=0$] e $Q(0,1,1)$. Hai quindi 4 punti disponibili per scrivere l'equazione del fascio che è simbolicamente la seguente:
$lambda(OO cdot PQ )+mu(OP cdot OQ)=0$
dove la retta $OO$ è la tangente data, di equazione $x-y=0$
Passando ai calcoli si ha il fascio di equazione :
(1) $lambda(x-y)(x+y-1)+mu x(x+y)=0$
Imponendo la condizione per ottenere la/e parabola/e si ha la relazione:
$mu^2+4 lambda mu+4 lambda^2=0$ da cui $mu=-2 lambda$
Sostituendo nella (1) si ha l'equazione dell'unica parabola del fascio :
$(x+y)^2+(x-y)=0$
Ma se avessi fatto (X-Y)*(X+Y +2) + K (OP)^2 con P punto improprio di X+Y+2 ed imposto il passaggio per Q avrei ottenuto lo stesso risultato?
Comunque grazie dell'aiuto
Comunque grazie dell'aiuto
Direi che non va bene come hai fatto tu. Se per esempio si pone k=0 si ottiene la conica ( degenere ) di equazione :
$(x-y)(x+y+2)=0$ che si spezza nelle rette $x-y=0$ e $x+y+2=0$. Ora la retta $x+y+2=0$ non fa parte del fascio ma di essa è richiesto solo il punto improprio. Del resto, se provi a continuare imponendo il passaggio per Q, non te ne viene fuori niente. Se proprio vuoi scegliere una via diversa dalla mia e trovare direttamente l'unica parabola del fascio, puoi considerare come punti base del fascio i punti $O(0,0,1)$ e $P(1,-1,0)$ ciascuno considerato 2 volte [questo perché il punto O è il punto di contatto della conica con la tangente $x-y=0$ e il punto P è il punto di contatto della conica con la retta impropria] e poi imporre il passaggio per Q. Se hai la pazienza di fare i calcoli arriverai allo stesso mio risultato.
P.S. Personalmente ritengo non conveniente utilizzare un solo parametro per costruire il fascio. Meglio due, specie se nel problema intervengono elementi impropri.
$(x-y)(x+y+2)=0$ che si spezza nelle rette $x-y=0$ e $x+y+2=0$. Ora la retta $x+y+2=0$ non fa parte del fascio ma di essa è richiesto solo il punto improprio. Del resto, se provi a continuare imponendo il passaggio per Q, non te ne viene fuori niente. Se proprio vuoi scegliere una via diversa dalla mia e trovare direttamente l'unica parabola del fascio, puoi considerare come punti base del fascio i punti $O(0,0,1)$ e $P(1,-1,0)$ ciascuno considerato 2 volte [questo perché il punto O è il punto di contatto della conica con la tangente $x-y=0$ e il punto P è il punto di contatto della conica con la retta impropria] e poi imporre il passaggio per Q. Se hai la pazienza di fare i calcoli arriverai allo stesso mio risultato.
P.S. Personalmente ritengo non conveniente utilizzare un solo parametro per costruire il fascio. Meglio due, specie se nel problema intervengono elementi impropri.
Ok, ho capito dove sbagliavo, ho sempre inteso che la conica passa per il punto improprio di una retta allora la retta è tangente alla conica nel punto improprio. Invece tu (posso darti del tu?) giustamente mi fai notare che la parabola è tangente a T=0 con molteplicità 2 in P(1,-1,0). Effettivamente applicando la formula del fascio di coniche bitangenti si ottiene il tuo stesso risultato. Grazie ancora dell'aiuto che mi hai dato!
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