ESERCIZI SULL'ALGEBRA LINEARE
CIAO A TUTTI,HO UN ESAME DI GEOMETRIA E SONO IN CRISI SU QUESTO ESERCIZIO,QUALKUNO RIESCE A RISOLVERLO??
SIA [e1,e2,e3] la base canonica di Re sia f :Rfreccia R l'endomorfismo definito da:
f(e1)=e1+(h+2)e2+e3; f(e2)=e1+e2+he3 ; f(e3)=e1+e2-2e3, dipendenti dal parametro h.
1)Determinare la dimensione ed una base dei stottospazi kerf,imf,kerf+imf e kerf per imf di R3 al variare di h
2)per quali valori di h il vettore f(1,3,-1)coincide con f(1,2,0)?
3)per quli vbalori di h il vettore (1,1,0) appartiene all'immagine di f?
4)posto h=-1,stabilire se il corrispondente endomorfismo f è diagonizzabile e in caso affermativo,determinare una base spettrale e la matrice associata a f rispetto a tale base
PER FAVORE AIUTATEMI
GRAZIE MILLE
SIA [e1,e2,e3] la base canonica di Re sia f :Rfreccia R l'endomorfismo definito da:
f(e1)=e1+(h+2)e2+e3; f(e2)=e1+e2+he3 ; f(e3)=e1+e2-2e3, dipendenti dal parametro h.
1)Determinare la dimensione ed una base dei stottospazi kerf,imf,kerf+imf e kerf per imf di R3 al variare di h
2)per quali valori di h il vettore f(1,3,-1)coincide con f(1,2,0)?
3)per quli vbalori di h il vettore (1,1,0) appartiene all'immagine di f?
4)posto h=-1,stabilire se il corrispondente endomorfismo f è diagonizzabile e in caso affermativo,determinare una base spettrale e la matrice associata a f rispetto a tale base
PER FAVORE AIUTATEMI
GRAZIE MILLE
Risposte
La matrice che rappresenta l'applicazione $f$ ha per colonne rispettivamente $f(e_1)$, $f(e_2)$, $f(e_3)$, quindi tale matrice è:
$A=((1,1,1),(h+2,1,1),(1,h,-2))$
Ora riduci la matrice a scala per colonne: le colonne diverse dal vettore nullo formeranno una base dell'immagine, il numero di vettori componenti tale base è la dimensione dell'immagine dell'applicazione.
La dimensione del ker si determina tenendo conto che $"null"(f)=3-\rank(f)$, per il teorema di nullità + rango.
Per determinare l'equazione cartesiana del ker ti basta impostare, e semplificare, se possibile, il sistema $AX=O$, dove $A$ è la matrice che rappresenta l'applicazione, $X=((x_1),(x_2),(x_3))$, $O \in \mathbb{R}^3$ è il vettore nullo. Dall'equazione cartesiana poi non è difficile risalire a una base del ker.
Per rispondere alla domanda 2) basta calcolare l'immagine del vettore $((1),(3),(-1))$ ed uguagliarla a $((1),(2),(0))$, cioè bisogna risolvere rispetto a $h$:
$A((1),(3),(-1))=((1),(2),(0))$
Per rispondere alla domanda 3) basta scrivere l'equazione cartesiana dell'immagine, sostituire a $x_1$, $x_2$ e $x_3$ le componenti del vettore $((1),(1),(0))$ e determinare $h$ in modo che tutte le equazioni siano soddisfatte.
Ponendo $h=-1$ l'applicazione è caratterizzata da questa matrice:
$\tilde{A}=((1,1,1),(1,1,1),(1,-1,-2))$
Per vedere se è diagonalizzabile devi calcolare gli autovalori e vedere se per ognuno molteplicità algebrica e geometrica coincidono: se questo è vero la matrice è diagonalizzabile.
In questo caso, se $\lambda_i$, per $i=1,2,3$, sono gli autovalori, la matrice diagonalizzata è $((\lambda_1,0,0),(0,\lambda_2,0),(0,0,\lambda_3))$, e la matrice di cambio di coordinate è quella che ha nella i-esima colonna un autovettore relativo all'i-esimo autovalore.
$A=((1,1,1),(h+2,1,1),(1,h,-2))$
Ora riduci la matrice a scala per colonne: le colonne diverse dal vettore nullo formeranno una base dell'immagine, il numero di vettori componenti tale base è la dimensione dell'immagine dell'applicazione.
La dimensione del ker si determina tenendo conto che $"null"(f)=3-\rank(f)$, per il teorema di nullità + rango.
Per determinare l'equazione cartesiana del ker ti basta impostare, e semplificare, se possibile, il sistema $AX=O$, dove $A$ è la matrice che rappresenta l'applicazione, $X=((x_1),(x_2),(x_3))$, $O \in \mathbb{R}^3$ è il vettore nullo. Dall'equazione cartesiana poi non è difficile risalire a una base del ker.
Per rispondere alla domanda 2) basta calcolare l'immagine del vettore $((1),(3),(-1))$ ed uguagliarla a $((1),(2),(0))$, cioè bisogna risolvere rispetto a $h$:
$A((1),(3),(-1))=((1),(2),(0))$
Per rispondere alla domanda 3) basta scrivere l'equazione cartesiana dell'immagine, sostituire a $x_1$, $x_2$ e $x_3$ le componenti del vettore $((1),(1),(0))$ e determinare $h$ in modo che tutte le equazioni siano soddisfatte.
Ponendo $h=-1$ l'applicazione è caratterizzata da questa matrice:
$\tilde{A}=((1,1,1),(1,1,1),(1,-1,-2))$
Per vedere se è diagonalizzabile devi calcolare gli autovalori e vedere se per ognuno molteplicità algebrica e geometrica coincidono: se questo è vero la matrice è diagonalizzabile.
In questo caso, se $\lambda_i$, per $i=1,2,3$, sono gli autovalori, la matrice diagonalizzata è $((\lambda_1,0,0),(0,\lambda_2,0),(0,0,\lambda_3))$, e la matrice di cambio di coordinate è quella che ha nella i-esima colonna un autovettore relativo all'i-esimo autovalore.
scusa ma cosa significa "le colonne diverse dal vettore nullo formeranno una base dell'immagine, il numero di vettori componenti tale base è la dimensione dell'immagine dell'applicazione.
La dimensione del ker si determina tenendo conto che $"null"(f)=3-\rank(f)$, per il teorema di nullità + rango.
Per determinare l'equazione cartesiana del ker ti basta impostare, e semplificare, se possibile, il sistema $AX=O$, dove $A$ è la matrice che rappresenta l'applicazione, $X=((x_1),(x_2),(x_3))$, $O \in \mathbb{R}^3$ è il vettore nullo."
se puoi rispondermi ti ringrazio
La dimensione del ker si determina tenendo conto che $"null"(f)=3-\rank(f)$, per il teorema di nullità + rango.
Per determinare l'equazione cartesiana del ker ti basta impostare, e semplificare, se possibile, il sistema $AX=O$, dove $A$ è la matrice che rappresenta l'applicazione, $X=((x_1),(x_2),(x_3))$, $O \in \mathbb{R}^3$ è il vettore nullo."
se puoi rispondermi ti ringrazio
L'immagine di un'applicazione lineare, e quindi anche della matrice che la rappresenta, è lo spazio generato dalle colonne. Ora la matrice in questione è:
$((1,1,1),(h+2,1,1),(1,h,-2))$
Lo spazio generato dalle colonne rimane lo stesso se si riduce la matrice a scala per colonne, ovvero se ad ogni colonna si sostituisce una combinazione lineare con un'altra colonna (o anche con tutte e due).
Riducendo la matrice a scala si arriva a questa:
$((1,0,0),(h+2,h+1,0),(1,1-h,h+2))$
Ora, se $h=-2$ l'ultima colonna è uguale al vettore nullo, e le prime due colonne sono vettori linearmente indipendenti, pertanto la dimensione dell'immagine è $2$.
Se $h=-1$ le ultime due colonne sono vettori linearmente dipendenti, pertanto la dimensione dell'immagine è sempre $2$.
In tutti gli altri casi la dimensione dell'immagine è $3$.
Prendiamo il caso, per esempio $h=-2$, la matrice allora è:
$((1,0,0),(0,-1,0),(1,3,0))$
Una base dell'immagine è data dalle prime due colonne, ovvero dai due vettori $((1),(0),(1))$ e $((0),(-1),(3))$.
Sfruttando il teorema di nullità + rango si può scrivere $"null"(f)+"rank"(f)=n$, dove $n$ è l'ordine della matrice, $"null"$ è la dimensione del ker e $"rank"$ è la dimensione dell'immagine, quindi conoscendo il rango si trova molto facilmente la dimensione del ker.
Per l'equazione cartesiana del ker devi impostare il sistema:
$((1,0,0),(h+2,h+1,0),(1,1-h,h+2))((x_1),(x_2),(x_3))=((0),(0),(0))$
Fai due conti, un po' di sostituzioni, quando rimani con $3-"null"(f)$ equazioni hai finito, quella che hai è l'equazione cartesiana del nucleo.
$((1,1,1),(h+2,1,1),(1,h,-2))$
Lo spazio generato dalle colonne rimane lo stesso se si riduce la matrice a scala per colonne, ovvero se ad ogni colonna si sostituisce una combinazione lineare con un'altra colonna (o anche con tutte e due).
Riducendo la matrice a scala si arriva a questa:
$((1,0,0),(h+2,h+1,0),(1,1-h,h+2))$
Ora, se $h=-2$ l'ultima colonna è uguale al vettore nullo, e le prime due colonne sono vettori linearmente indipendenti, pertanto la dimensione dell'immagine è $2$.
Se $h=-1$ le ultime due colonne sono vettori linearmente dipendenti, pertanto la dimensione dell'immagine è sempre $2$.
In tutti gli altri casi la dimensione dell'immagine è $3$.
Prendiamo il caso, per esempio $h=-2$, la matrice allora è:
$((1,0,0),(0,-1,0),(1,3,0))$
Una base dell'immagine è data dalle prime due colonne, ovvero dai due vettori $((1),(0),(1))$ e $((0),(-1),(3))$.
Sfruttando il teorema di nullità + rango si può scrivere $"null"(f)+"rank"(f)=n$, dove $n$ è l'ordine della matrice, $"null"$ è la dimensione del ker e $"rank"$ è la dimensione dell'immagine, quindi conoscendo il rango si trova molto facilmente la dimensione del ker.
Per l'equazione cartesiana del ker devi impostare il sistema:
$((1,0,0),(h+2,h+1,0),(1,1-h,h+2))((x_1),(x_2),(x_3))=((0),(0),(0))$
Fai due conti, un po' di sostituzioni, quando rimani con $3-"null"(f)$ equazioni hai finito, quella che hai è l'equazione cartesiana del nucleo.
tipper sei stato molto gentile,
kiedo un ultima cosa poi nn rompo piu.
Come faccio calcolare l'immagine di (1,3,-1) ed eguagliarla a (1,2,0)?
Un ulteriore kiarimento per il punto n.3
Infine per il 4 punto devo sostituire h=-1 nella matrice iniziale?
grazie ankora
kiedo un ultima cosa poi nn rompo piu.
Come faccio calcolare l'immagine di (1,3,-1) ed eguagliarla a (1,2,0)?
Un ulteriore kiarimento per il punto n.3
Infine per il 4 punto devo sostituire h=-1 nella matrice iniziale?
grazie ankora
"nikolasboy":
Come faccio calcolare l'immagine di (1,3,-1) ed eguagliarla a (1,2,0)?
Nel testo perà c'era scritto di eguagliare l'immagine di (1,3,-1) a f(1,2,0), cioè all'immagine di (1,2,0).
In generale, se $\phi$ è un'applicazione lineare, e $A$ è la matrice che la rappresenta, allora l'immagine del vettore $v$ è data dal prodotto: $Av$.
Nel tuo caso la matrice che rappresenta l'applicazione è:
$((1,1,1),(h+2,1,1),(1,h,-2))$
mentre il vettore di cui devi calcolare l'immagine è:
$((1),(3),(-1))$
e tale immagine deve essere uguale all'immagine di:
$((1),(2),(0))$
Quindi ciò che devi calcolare, in definitiva, è:
$((1,1,1),(h+2,1,1),(1,h,-2))((1),(3),(-1))=((1,1,1),(h+2,1,1),(1,h,-2))((1),(2),(0))$
Facendo un po' di conti si arriva a:
$((1,1,1),(h+2,1,1),(1,h,-2))((0),(1),(-1))=((0),(0),(0))$
Impostando un sistemino si trova:
$\{(0=0),(0=0),(h+2=0):}$
quindi $h=-2$.
"nikolasboy":
Infine per il 4 punto devo sostituire h=-1 nella matrice iniziale?
Sì.
"nikolasboy":
Un ulteriore kiarimento per il punto n.3
Puoi fare il punto 3) anche senza passare per l'equazione cartesiana dell'immagine, ma solo per quella parametrica.
Come detto l'immagine è lo spazio generato dalle colonne, quindi un generico vettore appartenente all'immagine si scrive come combinazione lineare delle colonne, ovvero:
$\alpha((1),(h+2),(1))+\beta((1),(1),(h))+\gamma((1),(1),(-2))=((\alpha+\beta+\gamma),(\alpha(h+2)+\beta+\gamma),(\alpha+\beta h-2\gamma))$ per qualche $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$.
Ora il vettore $((1),(1),(0))$ deve appartenere all'immagine, quindi può essere scritto secondo la precedente combinazione lineare per opportuni coefficienti $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$:
$\{(\alpha+\beta+\gamma=1),(\alpha(h+2)+\beta+\gamma=1),(\alpha+\beta h-2\gamma=0):}$
I valori di $h$ per cui il sistema è risolubile sono i valori cercati.
grazie tipper mi sei stao molto di aiuto!!!
ora posso proporre altri esercizi??
va bhè penso di si
Sia f:R3frecciaR3 il seguente endomorfismo:
f(x1,x2,x3)=(3x1+x2+3x3; 4x2; x1-x2+x3)
1)determinare la dimensione ed una base per i sottospazi ker(f),im(f),ker(f)+im(f),ker(f)perim(f)
2)stabilire se l'endomorfismo è diagonalizzabile ed in caso affermativo determinare una base spettrale e la matrice associata rispetto a tale base
3)provare che f(1,-1,4)=(14,,5,6)
4)Determinare falla meno1 di (5,-4,3) e (0,7,0)
5)Scrivere la matrice Mbb(f) associata as f rispetto alla base B=((0,2,0),(1,0,1),(0,1,-1)) di R3.DEnota con v la base canonica di R3,dire qual'è la relazione tra Mbb(f) e Mvv(f)
ciao
ora posso proporre altri esercizi??
va bhè penso di si
Sia f:R3frecciaR3 il seguente endomorfismo:
f(x1,x2,x3)=(3x1+x2+3x3; 4x2; x1-x2+x3)
1)determinare la dimensione ed una base per i sottospazi ker(f),im(f),ker(f)+im(f),ker(f)perim(f)
2)stabilire se l'endomorfismo è diagonalizzabile ed in caso affermativo determinare una base spettrale e la matrice associata rispetto a tale base
3)provare che f(1,-1,4)=(14,,5,6)
4)Determinare falla meno1 di (5,-4,3) e (0,7,0)
5)Scrivere la matrice Mbb(f) associata as f rispetto alla base B=((0,2,0),(1,0,1),(0,1,-1)) di R3.DEnota con v la base canonica di R3,dire qual'è la relazione tra Mbb(f) e Mvv(f)
ciao
Mi sembra simile all'altro, dove trovi difficoltà?
sul punto 3,punto 4 e sul punto 5 nn ci ho capito niente
Punto 3:
Sia $A$ la matrice che rappresenta l'applicazione, allora devi calcolare:
$A((1),(-1),(4))$
e devi verificare che il risultato sia
$((14),(5),(6))$
Questo vuol dire che l'immagine del vettore $((1),(-1),(4))$, tramite $f$, coincide con il vettore $((14),(5),(6))$.
Sia $A$ la matrice che rappresenta l'applicazione, allora devi calcolare:
$A((1),(-1),(4))$
e devi verificare che il risultato sia
$((14),(5),(6))$
Questo vuol dire che l'immagine del vettore $((1),(-1),(4))$, tramite $f$, coincide con il vettore $((14),(5),(6))$.
Punto 4:
Devi determinare le retroimmagini di quei vettori, devi determinare un vettore, o uno spazio lineare o affine (se l'applicazione non è iniettiva) tale che la sua immagine coincida con il vettore di partenza, quindi si opera così:
detto $X=((x_1),(x_2),(x_3))$ il vettore delle incognite, l'equazione cartesiana della retroimmagine di $((5),(-4),(3))$ vale
$AX=((5),(-4),(3))$
Ovviamente si ragiona analogamente anche per l'altro vettore.
Devi determinare le retroimmagini di quei vettori, devi determinare un vettore, o uno spazio lineare o affine (se l'applicazione non è iniettiva) tale che la sua immagine coincida con il vettore di partenza, quindi si opera così:
detto $X=((x_1),(x_2),(x_3))$ il vettore delle incognite, l'equazione cartesiana della retroimmagine di $((5),(-4),(3))$ vale
$AX=((5),(-4),(3))$
Ovviamente si ragiona analogamente anche per l'altro vettore.
Punto 5:
La matrice che fa passare dalla base canonica alla base $B$ è quella che ha per colonne i vettori di $B$ (le cui coordinate si intendono, ovviamente rispetto alla base canonica), quindi è:
$C=((0,1,0),(2,0,1),(0,1,-1))$
Inoltre vale la relazione del cambiamento di base:
$M_{"bb"}(f)=C^{-1} \cdot M_{"vv"}(f) \cdot C$
La matrice che fa passare dalla base canonica alla base $B$ è quella che ha per colonne i vettori di $B$ (le cui coordinate si intendono, ovviamente rispetto alla base canonica), quindi è:
$C=((0,1,0),(2,0,1),(0,1,-1))$
Inoltre vale la relazione del cambiamento di base:
$M_{"bb"}(f)=C^{-1} \cdot M_{"vv"}(f) \cdot C$
ok ho capito
ma cmq nn mi trovo
ma cmq nn mi trovo
Dove non ti trovi?
sul punto 3 mi trovo ke la x,y,z hanno lo stesso risultato;mentre sul punto n.4 e n.5 nn riesco andare avanti col procedimento
Il punto 3) sinceramente non mi torna, la matrice che rappresenta l'applicazione è:
$((3,1,3),(0,4,0),(1,-1,1))$ e per trovare l'immagine del vettore $((1,),(-1),(4))$ basta fare una moltiplicazione matrice-vettore e si ottiene
$((3,1,3),(0,4,0),(1,-1,1))((1,),(-1),(4))=((14),(-4),(6))$
Quindi dai miei calcoli risulta che $f((1),(-1),(4))=((14),(-4),(6))$.
$((3,1,3),(0,4,0),(1,-1,1))$ e per trovare l'immagine del vettore $((1,),(-1),(4))$ basta fare una moltiplicazione matrice-vettore e si ottiene
$((3,1,3),(0,4,0),(1,-1,1))((1,),(-1),(4))=((14),(-4),(6))$
Quindi dai miei calcoli risulta che $f((1),(-1),(4))=((14),(-4),(6))$.
Per il punto 4) devi trovare un generico vettore $((x_1),(x_2),(x_3))$ tale che la sua immagine coincida con il vettore $((5),(-4),(3))$, quindi basta impostare questo calcolo, $f((x_1),(x_2),(x_3))=((5),(-4),(3))$, che in forma matriciale diventa:
$((3,1,3),(0,4,0),(1,-1,1))((x_1),(x_2),(x_3))=((5),(-4),(3))$
e facendo un po' di conti si arriva a questo sistema:
$\{(3x_1+x_2+3x_3=5),(4x_2=-4),(x_1-x_2+x_3=3):}$ e con un po' di semplificazioni si arriva a:
$\{(x_1+x_3=2),(x_2=-1):}$
Questa è l'equazione cartesiana di $f^{-1}((5),(-4),(3))$
Non sto a fare i conti per l'altro vettore perché è uguale.
$((3,1,3),(0,4,0),(1,-1,1))((x_1),(x_2),(x_3))=((5),(-4),(3))$
e facendo un po' di conti si arriva a questo sistema:
$\{(3x_1+x_2+3x_3=5),(4x_2=-4),(x_1-x_2+x_3=3):}$ e con un po' di semplificazioni si arriva a:
$\{(x_1+x_3=2),(x_2=-1):}$
Questa è l'equazione cartesiana di $f^{-1}((5),(-4),(3))$
Non sto a fare i conti per l'altro vettore perché è uguale.
Per il punto 5) non capisco dove ti blocchi: hai la matrice $M_{"bb"}(f)$, ti ho scritto la matrice $C$, il tutto sta nel fare un'inversa e a fare due prodotti fra matrici, così ti calcoli $M_{"vv"}(f)$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo