Esercizi sulla compattezza.

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17 set 2018, 16:28

Ciao, qualcuno mi può dare un occhio a queste risposte?

$\displaystyle \bullet $ $\displaystyle \mathbb{C}^n $ non è compatto. Ho pensato di fare così: considero per ogni $\displaystyle n\in\mathbb{N} $ la collezione numerabile $\displaystyle M $ delle palle aperte centrate in $\displaystyle x=0 $, $\displaystyle B_n(0) $, rispetto alla metrica su $\displaystyle \mathbb{C}^n $. $\displaystyle M $ è una copertura di $\displaystyle \mathbb{C}^n $, e se si potesse estrarre una sottocopertura finita, allora per qualche $\displaystyle m $ $\displaystyle \mathbb{C}^n=B_m(0) $, chiaramente impossibile poiché $\displaystyle \text{diam }\mathbb{C}^n=\infty $. Stavo per scrivere di aver scelto la definizione per coperture per evitare di specificare una metrica, ma lo faccio comunque nello stabilire che l'insieme non è limitato... quindi suppongo che l'esercizio pensi al classico spazio euclideo.

$\displaystyle \bullet $ Uno spazio metrico discreto $X$ con infiniti punti non è compatto. Scelgo la famiglia delle palle aperte centrate su ogni punto $\displaystyle x\in X $ di raggio $\displaystyle r=1 $. Dovrebbe andare bene? Mi sembra impossibile estrarne una sottocopertura finita.

$\displaystyle \bullet $ $\displaystyle \mathbb{C}^n $ è localmente compatto. Questa forse è un'osservazione banale, ma mi sembra sia sufficiente a concludere: ogni punto di $\displaystyle \mathbb{C}^n $ ammette un intorno chiuso di raggio arbitrario, e in uno spazio normato qual è $\displaystyle \mathbb{C}^n $ sottoinsiemi chiusi e limitati sono certamente compatti.

$\displaystyle \bullet $ Un sottoinsieme chiuso $M$ di uno spazio compatto è compatto. Siccome $\displaystyle M $ è chiuso, $\displaystyle x_n\to x\in M $ per ogni $\displaystyle x_n\in M $, La compattezza di $X$ implica che ogni successione ammetta una sottosuccessione convergente in $X$; siccome però una qualunque sottosuccessione di una successione convergente converge, e per la chiusura converge nel sottoinsieme stesso, si ha che $M$ è compatto.

$\displaystyle \bullet $ Uno spazio metrico compatto è localmente compatto. [strike]Ho pensato così: siccome $X$ è compatto, ammette una copertura finita; quindi per ogni suo punto posso trovare un insieme aperto che lo contenga. Se considero la chiusura di tale insieme dovrei essere a posto per il punto precedente...[/strike]

Risposte

dissonance

17 set 2018, 15:15

"Lèo":
in uno spazio normato [...]sottoinsiemi chiusi e limitati sono certamente compatti.

BUM!

$\displaystyle \bullet $ Uno spazio metrico compatto è localmente compatto. Ho pensato così: siccome $X$ è compatto, ammette una copertura finita; quindi per ogni suo punto posso trovare un insieme aperto che lo contenga. Se considero la chiusura di tale insieme dovrei essere a posto per il punto precedente...

Questa è aria fritta. La soluzione è estremamente più semplice di così.

Lèo114

17 set 2018, 16:26

Perché BUM

sul mio libro ho questo teorema: in uno spazio normato $X$ di dimensione finita, un insieme $\displaystyle M\subset X $ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

j18eos

17 set 2018, 16:35

Effettivamente: BUM $\displaystyle\infty$-dimensionale!

Sul punto (4): ma quanto sei complicato; considerato un ricoprimento aperto $\displaystyle\mathcal{U}$ di $\displaystyle M$ sottoinsieme proprio e chiuso di uno spazio topologico compatto $\displaystyle K$, allora $\displaystyle\mathcal{U}\cup\{K\setminus M\}$ è un ricoprimento aperto di $\displaystyle K$...

Lèo114

17 set 2018, 22:19

Continuo a non capire questa onomatopea! Comunque hai ragione dissonance, l'ho sparata gossa. Per dimostrare la compattezza locale basta che una successione $\displaystyle x_n\in B_r(x_0) $ abbia una sottosuccessione convergente, ma questo è ovvio dal momento che $\displaystyle B_r(x_0)\in X $ compatto.