Esercizi sul gruppo fondamentale
salve, ho un pò di problemi a gestire vari esercizi sul gruppo fondamentale, nel senso che non ho la minima idea di come iniziare. Inizio a proporvene uno.
1)sia X uno spazio topologico connesso per archi e a,b due punti di X. Dimostrare che \(\displaystyle \pi(X,a)\) è abeliano se e solo se l'isomorfismo \(\displaystyle \gamma \)# \(\displaystyle \pi(X,a)\)-> \(\displaystyle \pi(X,b)\) non dipende dalla scelta di \(\displaystyle \gamma \) tra i cammini che collegano a e b.
ho provato due strade,
una far i conti con le classi di equivalenza all'interno di \(\displaystyle \pi(X,b)\) prendendo due cammini qualsiasi e cercando di dimostrare che le classi immagine di \(\displaystyle \gamma \)# erano uguali, ma senza successo;
l'altra cercando di trovare esplicitamente un'omotopia tra i cammini immagine, ma anche qua senza successo.
Suggerimenti?
Grazie in anticipo
1)sia X uno spazio topologico connesso per archi e a,b due punti di X. Dimostrare che \(\displaystyle \pi(X,a)\) è abeliano se e solo se l'isomorfismo \(\displaystyle \gamma \)# \(\displaystyle \pi(X,a)\)-> \(\displaystyle \pi(X,b)\) non dipende dalla scelta di \(\displaystyle \gamma \) tra i cammini che collegano a e b.
ho provato due strade,
una far i conti con le classi di equivalenza all'interno di \(\displaystyle \pi(X,b)\) prendendo due cammini qualsiasi e cercando di dimostrare che le classi immagine di \(\displaystyle \gamma \)# erano uguali, ma senza successo;
l'altra cercando di trovare esplicitamente un'omotopia tra i cammini immagine, ma anche qua senza successo.
Suggerimenti?
Grazie in anticipo
Risposte
up
Se il $\pi_1$ e' abeliano non dovresti avere problemi; viceversa, sai che per ogni due cammini che vanno da $a$ a $b$, diciamo $[\alpha]$ e $[\beta]$, si ha $[\alpha]^{-1}[\gamma][\alpha]=[\beta]^{-1}[\gamma][\beta]$, dunque $[x]^{-1}[\gamma][x]=[\gamma]$, dove x e' una cosa che non ho voglia di scrivere (:D), dunque gli automorfismi interni sono banali, dunque il $\pi_1$ e' abeliano.
hum, ma per ottenere \( [x]^{-1}[\gamma][x]=[\gamma] \), dovrei moltiplicare tipo a sinistra per B e a destra per l'inverso, che però non sono elementi del gruppo. giusto?
Lo fai nella gruppoide e passa la paura 
Chiaro, l'equivalenza la posso dimostrare anche fuori dal gruppo, che scemo!
Grazie mille!
Ve ne propongo un altro su cui ho dubbi.
Si tratta di dimostrare che il gruppo fondmentale del piano proiettivo reale è \(\displaystyle \mathbb{Z}\diagdown 2 \)
Considero \(\displaystyle \mathbb{P} 2 \) come il quoziente di \(\displaystyle \mathbb{S} 2 \) per il gruppo di omeomorfismi composto dall'identità e dall'antipodo e prendo come A un pezzo della calotta superiore (semplicemente connesso), e come B la fascia equatoriale (che ha \(\displaystyle \mathbb{S} 1 \) come retratto di deformazione)
L'intersezione di A e B ha ancora \(\displaystyle \mathbb{S} 1 \) come retratto di deformazione.
E a questo punto dovrei applicare VanKampen. Quindi il gruppo fondamentale dovrebbe essere isormorfo al gruppo libero su un generatore ("b", il cammino in B) con una relazione, che però non riesco a determinare, ma che dovrebbe essere b^2=1
Come faccio a mostrare che il generatore del gruppo fondamentale di B visto dentro \(\displaystyle \mathbb{P} 2 \) è b^2?
Grazie mille!
Ve ne propongo un altro su cui ho dubbi.
Si tratta di dimostrare che il gruppo fondmentale del piano proiettivo reale è \(\displaystyle \mathbb{Z}\diagdown 2 \)
Considero \(\displaystyle \mathbb{P} 2 \) come il quoziente di \(\displaystyle \mathbb{S} 2 \) per il gruppo di omeomorfismi composto dall'identità e dall'antipodo e prendo come A un pezzo della calotta superiore (semplicemente connesso), e come B la fascia equatoriale (che ha \(\displaystyle \mathbb{S} 1 \) come retratto di deformazione)
L'intersezione di A e B ha ancora \(\displaystyle \mathbb{S} 1 \) come retratto di deformazione.
E a questo punto dovrei applicare VanKampen. Quindi il gruppo fondamentale dovrebbe essere isormorfo al gruppo libero su un generatore ("b", il cammino in B) con una relazione, che però non riesco a determinare, ma che dovrebbe essere b^2=1
Come faccio a mostrare che il generatore del gruppo fondamentale di B visto dentro \(\displaystyle \mathbb{P} 2 \) è b^2?
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