Esercizi sui vettori-combinazione lineare
Buongiorno a tutti. Mi chiamo Rocco e sono un nuovo iscritto.Vi espongo il mio problema: purtroppo, non avendo frequentato il corso di matematica all'università, riscontro parecchie difficoltà nello svolgimento di esercizi sui vettori. Gli esercizi sono i seguenti:
1) Stabilire se il vettore $((5),(1))$ può essere espresso come combinazione lineare dei due vettori $((-1),(3))$ e $((-2),(3))$ e,in caso affermativo,indicare i coefficienti della combinazione lineare.
2)Stabilire se il vettore $((-7/3),(7))$ può essere espresso come combinazione lineare dei due vettori $((-1/3),(1))$ e $((-7),(21))$ e,in caso affermativo,indicare i coefficienti della combinazione lineare.
3)Stabilire se il vettore $((-7/3),(7))$ può essere espresso come combinazione lineare dei due vettori $((-1),(1/2))$ e $((3/4),(3/8))$ e,in caso affermativo,indicare i coefficienti della combinazione lineare.
Non ho ben compreso i passaggi da seguire per arrivare alla soluzione.Inoltre,come faccio a capire se un dato vettore è dipendente linearmente da altri vettori? Qualcuno,gentilmente, mi potrebbe indicare i passaggi da seguire per risolverli?
Grazie anticipatamente a tutti coloro che mi risponderanno.
1) Stabilire se il vettore $((5),(1))$ può essere espresso come combinazione lineare dei due vettori $((-1),(3))$ e $((-2),(3))$ e,in caso affermativo,indicare i coefficienti della combinazione lineare.
2)Stabilire se il vettore $((-7/3),(7))$ può essere espresso come combinazione lineare dei due vettori $((-1/3),(1))$ e $((-7),(21))$ e,in caso affermativo,indicare i coefficienti della combinazione lineare.
3)Stabilire se il vettore $((-7/3),(7))$ può essere espresso come combinazione lineare dei due vettori $((-1),(1/2))$ e $((3/4),(3/8))$ e,in caso affermativo,indicare i coefficienti della combinazione lineare.
Non ho ben compreso i passaggi da seguire per arrivare alla soluzione.Inoltre,come faccio a capire se un dato vettore è dipendente linearmente da altri vettori? Qualcuno,gentilmente, mi potrebbe indicare i passaggi da seguire per risolverli?
Grazie anticipatamente a tutti coloro che mi risponderanno.
Risposte
Ho approvato il tuo messaggio, devi però far vedere qualche tuo tentativo di soluzione come da regolamento che ti suggerisco di leggere.
@Rocco95
Ti offro un esempio.
Dire che un vettore sia combinazione lineare di altri vettori significa chiedersi se esista una soluzione a:
$ a( ( -1 ),( 3 ) ) +b( ( -2 ),( 3 ) )=( ( 5 ),( 1 ) ) $
ovvero l'equazione matriciale:
$ ( ( -1 , -2 ),( 3 , 3 ) )( ( a ),( b ) )=( ( 5 ),( 1 ) ) $
che rappresenta il sistema:
$ { ( -a-2b=5 ),( 3a+3b=1 ):} $
[$b=-16/3$ e $a=17/3$]
Ti offro un esempio.
Dire che un vettore sia combinazione lineare di altri vettori significa chiedersi se esista una soluzione a:
$ a( ( -1 ),( 3 ) ) +b( ( -2 ),( 3 ) )=( ( 5 ),( 1 ) ) $
ovvero l'equazione matriciale:
$ ( ( -1 , -2 ),( 3 , 3 ) )( ( a ),( b ) )=( ( 5 ),( 1 ) ) $
che rappresenta il sistema:
$ { ( -a-2b=5 ),( 3a+3b=1 ):} $
[$b=-16/3$ e $a=17/3$]
P.S. A seconda del livello richiesto, in realtà può essere risolto diversamente.
Se è così allora prendi le matrici
$A=( ( -1 , -2 ),( 3 , 3 ) )$ e $ B=( ( -1 , -2 , 5 ),( 3 , 3 , 1 ) ) $
Usando Gauss-Jordan, controlla se il rango di A e B coincidono. Se è così allora per Rouchè-Capelli il sistema ammette soluzioni. In particolare se A ha rango massimo, allora esiste un'unica soluzione.
Insomma, la richiesta degli esercizi dipende da cosa vuole il professore e dal livello del corso.
Se è così allora prendi le matrici
$A=( ( -1 , -2 ),( 3 , 3 ) )$ e $ B=( ( -1 , -2 , 5 ),( 3 , 3 , 1 ) ) $
Usando Gauss-Jordan, controlla se il rango di A e B coincidono. Se è così allora per Rouchè-Capelli il sistema ammette soluzioni. In particolare se A ha rango massimo, allora esiste un'unica soluzione.
Insomma, la richiesta degli esercizi dipende da cosa vuole il professore e dal livello del corso.
@Camillo: grazie per aver approvato il messaggio.
@Bokonon: innanzitutto grazie mille per la risposta. Vorrei porti un quesito: prendendo in considerazione l'esercizio n°2, poichè la matrice dei coefficienti $((-1/3,-7),(1,21))$ e la matrice completa $(( -1/3 , -7 , -7/3 ),( 1 , 21 , 7))$ hanno entrambe rango pari a 1 (quindi il rango non è massimo) si dice,in questo caso,che il sistema è indeterminato e ammette infinite soluzioni? I coefficienti,quindi,non è possibile determinarli?
Considerando l'esercizio n°3,invece, poichè il rango della della matrice dei coefficienti $((-1,3/4),(1/2,-3/8))$ è 1 e il rango della matrice completa $(( -1 , 3/4 , -7/3 ),( 1/2 , -3/8 , 7))$ è 2 (quindi il rango di entrambe le matrici non coincide ) si dice che il sistema è impossibile e quindi non è possibile trovare una combinazione lineare?
Con l'occasione auguro a tutti buone feste.
Grazie anticipatamente.
@Bokonon: innanzitutto grazie mille per la risposta. Vorrei porti un quesito: prendendo in considerazione l'esercizio n°2, poichè la matrice dei coefficienti $((-1/3,-7),(1,21))$ e la matrice completa $(( -1/3 , -7 , -7/3 ),( 1 , 21 , 7))$ hanno entrambe rango pari a 1 (quindi il rango non è massimo) si dice,in questo caso,che il sistema è indeterminato e ammette infinite soluzioni? I coefficienti,quindi,non è possibile determinarli?
Considerando l'esercizio n°3,invece, poichè il rango della della matrice dei coefficienti $((-1,3/4),(1/2,-3/8))$ è 1 e il rango della matrice completa $(( -1 , 3/4 , -7/3 ),( 1/2 , -3/8 , 7))$ è 2 (quindi il rango di entrambe le matrici non coincide ) si dice che il sistema è impossibile e quindi non è possibile trovare una combinazione lineare?
Con l'occasione auguro a tutti buone feste.
Grazie anticipatamente.
"rocco95":
la matrice dei coefficienti $((-1/3,-7),(1,21))$ e la matrice completa $(( -1/3 , -7 , -7/3 ),( 1 , 21 , 7))$ hanno entrambe rango pari a 1 (quindi il rango non è massimo) si dice,in questo caso,che il sistema è indeterminato e ammette infinite soluzioni?
Esatto, il sistema ammette appunto infinite soluzioni.
"rocco95":
I coefficienti,quindi,non è possibile determinarli?
Perchè no? Basta sceglierne 2 a piacere come il vettore $(0,1/3)$
Se invece il rango della matrice completa è più grande allora il sistema non ha soluzioni.
Un altro modo di dire la medesima cosa è che se il vettore B non è combinazione lineare dei due vettori allora significa che non si trova nella spazio generato dalle colonne, ovvero l'immagine.
Grazie mille per la risposta Bokonon. Quindi,riassumendo: quando mi trovo dinanzi ad esercizi del genere,per prima cosa studio l'indipendenza lineare tra vettori tramite il rango e successivamente confronto il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa: se la matrice dei coefficienti ha rango massimo allora il sistema ammette un' unica soluzione; se,invece,il rango di entrambe le matrici coincide e non è massimo allora il sistema ammette infinite soluzioni,infine se il rango di entrambe le matrici non coincide e quindi il rango della matrice completa è più grande allora il sistema è impossibile e non ha soluzioni. Corretto?
Inoltre,per determinare i coefficienti della combinazione lineare devo usare un semplice sistema(con metodo di sostituzione) oppure applicare Cramer?
Buon Natale a tutti.
Grazie anticipatamente.
Inoltre,per determinare i coefficienti della combinazione lineare devo usare un semplice sistema(con metodo di sostituzione) oppure applicare Cramer?
Buon Natale a tutti.
Grazie anticipatamente.
Stai complicando l'acqua calda. Opera direttamente con la matrice completa e riduci a scalini con Gauss-Jordan.
Ad esempio:
$( ( -1 , -2 , 5 ),( 3 , 3 , 1 ) )rArr ( ( 1 , 2 , -5 ),( 0 , 1 , -16/3 ) )rArr ( ( 1 , 2 ),( 0 , 1 ) )( ( a ),( b ) ) =( ( -5 ),( -16/3 ) )$
Dalla matrice al centro si vede chiaramente che i due ranghi coincidono e sono pari a 2. Una sola soluzione.
Partendo dalla seconda riga abbiamo $0*a+1*b=-16/3$, ovvero $b=-16/3$ (vedi come è facile ottenere un parametro una volta a gradini? E sarà sempre così per qualsiasi dimensione...basta partire dall'ultima riga e risolvere e a ritroso).
Dalla prima riga abbiamo $1*a+2*(-16/3)=-5$ quindi $a=17/3$. Fine.
Secondo esercizio:
$(( -1/3 , -7 , -7/3 ),( 1 , 21 , 7))rArr ( ( 1 , 21 , 7 ),( 0 , 0 , 0 ) )rArr ( ( 1 , 21 ),( 0 , 0 ) )( ( a ),( b ) ) =( ( 7 ),( 0 ) )$
Dalla matrice a scalini si vede che il rango di entrambe le matrici è 1. Infinite soluzioni.
$1*a+21b=7$ ha infinite soluzioni appunto. Scegli una soluzione visto che l'esercizio in questione te lo chiede. Poni ad esempio $a=0$.
Terzo esercizio:
$(( -1 , 3/4 , -7/3 ),( 1/2 , -3/8 , 7))rArr ( ( 12 , -9 , 28 ),( 0 , 0 , -7 ) )rArr ( ( 12 , -9 ),( 0 , 0 ) )( ( a ),( b ) ) =( ( 28 ),( -7 ) )$
La matrice dei coefficienti a rango 1 mentre la matrice completa ha due pivot, quindi rango due. Nessuna soluzione.
Infatti $0*a+0*b=0!=-7$
Più chiaro di così non potevo essere. Non complicarti la vita.
Ad esempio:
$( ( -1 , -2 , 5 ),( 3 , 3 , 1 ) )rArr ( ( 1 , 2 , -5 ),( 0 , 1 , -16/3 ) )rArr ( ( 1 , 2 ),( 0 , 1 ) )( ( a ),( b ) ) =( ( -5 ),( -16/3 ) )$
Dalla matrice al centro si vede chiaramente che i due ranghi coincidono e sono pari a 2. Una sola soluzione.
Partendo dalla seconda riga abbiamo $0*a+1*b=-16/3$, ovvero $b=-16/3$ (vedi come è facile ottenere un parametro una volta a gradini? E sarà sempre così per qualsiasi dimensione...basta partire dall'ultima riga e risolvere e a ritroso).
Dalla prima riga abbiamo $1*a+2*(-16/3)=-5$ quindi $a=17/3$. Fine.
Secondo esercizio:
$(( -1/3 , -7 , -7/3 ),( 1 , 21 , 7))rArr ( ( 1 , 21 , 7 ),( 0 , 0 , 0 ) )rArr ( ( 1 , 21 ),( 0 , 0 ) )( ( a ),( b ) ) =( ( 7 ),( 0 ) )$
Dalla matrice a scalini si vede che il rango di entrambe le matrici è 1. Infinite soluzioni.
$1*a+21b=7$ ha infinite soluzioni appunto. Scegli una soluzione visto che l'esercizio in questione te lo chiede. Poni ad esempio $a=0$.
Terzo esercizio:
$(( -1 , 3/4 , -7/3 ),( 1/2 , -3/8 , 7))rArr ( ( 12 , -9 , 28 ),( 0 , 0 , -7 ) )rArr ( ( 12 , -9 ),( 0 , 0 ) )( ( a ),( b ) ) =( ( 28 ),( -7 ) )$
La matrice dei coefficienti a rango 1 mentre la matrice completa ha due pivot, quindi rango due. Nessuna soluzione.
Infatti $0*a+0*b=0!=-7$
Più chiaro di così non potevo essere. Non complicarti la vita.
Perfetto,grazie mille per l'aiuto 
.Sei stato chiarissimo.Ti auguro buone feste.
.Sei stato chiarissimo.Ti auguro buone feste.
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