Esercizi sui sottospazi

[Lamp97]

Salve, vorrei un aiuto su questo esercizio perchè sono giorni che ci provo ma non arrivo alla risposta ...
Assegnati i seguenti sottospazi vettoriali di R4:

$ U = L((−1,2,−1,−2),(0,−2,0,1),(1,2,1,0)) $

$ W = L((1,1,2,1),(3,1,0,1),(−1,0,1,0)) $.

1)Determinare la dimensione e una rappresentazione cartesiana di $ U + W $. RISPOSTA: Una rappresentazione cartesiana `e, ad esempio, −x + y −z + 2t = 0, dim(U + W) = 3

Il mio problema su questo primo punto è proprio la somma di sottospazi ... In teoria per ricavarmi una base di U+W dovrei prendere (in base alla dimensione del sottospazio U+W) delle basi da U e unirle semplicemente a delle basi di W(ovviamente formando un sistema linearmente indipendente)... Ma (supponendo che questo ragionamento sia giusto) non so come trovarmi l'equazione cartesiana.
Problema 2 .. la dimensione di U+W è 3 a detta della risposta ma secondo grassmann è dim(U+W)=dimU+dimW-dimW∩U
ma la dimensione di U è 3 quella di W è 3 e quella di W∩U è 1... dunque dim(U+W)= 5 ?

Aiuto Grazie

Ps: avrei anche un altro punto non chiaro

[liberatorimatteo]

Scusa cosa intendi con quella $L$?
forse vuol dire questo (?):
$ U = L((−1,2,−1,−2),(0,−2,0,1),(1,2,1,0))={(-x_1+2x_2-x_3-2x_4=0),(-2x_2+x_4=0),(x_1+2x_2+x_3=0):} $
$ W = L((1,1,2,1),(3,1,0,1),(−1,0,1,0))={(x_1+x_2+2x_3+x_4=0),(3x_1+2x_2+x_4=0),(-x_1+x_3=0):} $
Prendo la matrice associata ad $U$ ed opero con trasformazioni elementari per ottenere una matrice a scala completamente ridotta, faccio la stessa cosa con la matrice associata ad $W$
$((−1,2,−1,−2),(0,−2,0,1),(1,2,1,0))->((1,2,1,0),(0,4,0,−2),(0,−2,0,1))->((1,2,1,0),(0,2,0,−1),(0,0,0,0))->((1,0,1,1),(0,2,0,−1),(0,0,0,0))$
$((1,1,2,1),(3,1,0,1),(−1,0,1,0))->((1,0,-1,0),(0,1,3,1),(0,1,3,1))->((1,0,-1,0),(0,1,3,1),(0,0,0,0))$
Di conseguenza
$ U={(x_1+x_3+x_4=0),(2x_2-x_4=0):}={(x_1=-h-2t),(x_2=t),(x_3=h),(x_4=2t):} $
Da cui $(-h-2t,t,h,2t)=h(-1,0,1,0)+t(-2,1,0,2)$ e perciò $B_U={(-1,0,1,0),(-2,1,0,2)}$ e $dim(U)=2$
$ W = {(x_1-x_3=0),(x_2+3x_3+x_4=0):}={(x_1=h),(x_2=t),(x_3=h),(x_4=-t-3h):} $
Da cui $(h,t,h,-t-3h)=h(1,0,1,-3)+t(0,1,0,-1)$ e perciò $B_W={(1,0,1,-3),(0,1,0,-1)}$ e $dim(W)=2$
Ma allora
$U\capW{(x_1+x_3+x_4=0),(2x_2-x_4=0),(x_1-x_3=0),(x_2+3x_3+x_4=0):}=((1,0,1,1),(0,2,0,−1),(1,0,-1,0),(0,1,3,1))((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$
Prendo la matrice associata ad $U\capS$ ed opero con trasformazioni elementari per ottenere una matrice a scala
$((1,0,1,1),(0,2,0,−1),(1,0,-1,0),(0,1,3,1))->((1,0,-1,0),(0,0,2,1),(0,1,3,1),(0,0,-6,−3))->((1,0,-1,0),(0,1,3,1),(0,0,2,1),(0,0,0,0))$
Per cui $dim(U\capW)=4-3=1$
Un insieme finito di generatori (ma non una base) di $U+W$ sarà sicuramente $B_U\cupB_W={(-1,0,1,0),(-2,1,0,2),(1,0,1,-3),(0,1,0,-1)}$. Da tale insieme estraiamo una base vedendo quali vettori sono linearmente indipendenti
$((-1,-2,1,0),(0,1,0,1),(1,0,1,0),(0,2,-3,-1))->((1,0,1,0),(0,-2,2,0),(0,1,0,1),(0,2,-3,-1))->((1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,2,2),(0,0,-1,-1))->((1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(0,0,0,0))$
Perciò $B_(U+W)={(-1,0,1,0),(-2,1,0,2),(1,0,1,-3)}$ e quindi $dim(U+W)=3$
Per scrivere le cartesiane
$((-1,-2,1,x_1),(0,1,0,x_2),(1,0,1,x_3),(0,2,-3,x_4))->((1,0,1,x_3),(0,-2,2,x_1+x_3),(0,1,0,x_2),(0,2,-3,x_4))->((1,0,1,x_3),(0,1,0,x_2),(0,0,2,x_1+x_3+2x_2),(0,0,-1,x_4-2x_2))->((1,0,1,x_3),(0,1,0,x_2),(0,0,-1,x_4-2x_2),(0,0,0,x_1+x_3+2x_2+2x_4-4x_2))$
Quindi le equazioni cartesiane sono
$x_1+x_3+2x_2+2x_4-4x_2=0 \Leftrightarrow x_1-2x_2+x_3+2x_4=0$