Esercizi su retti e piani.
Salve gente, dopo una infarinatura di algebra lineare ho dovuto progere il mio target sulla geometria nello spazio, precisamente su rette e piani.
Ho iniziato dunque a fare qualche esercizio...
Il primo è uno in cui viene data l'equazione della retta r in forma cartesiana e si chiede ai primi due quesiti di :
1)trovare l'equazione del piano contenente la retta r e passante per l'origine;
2)trovare l'equazione del piano contenente la retta r e passante per un punto P dato.
Questi due quesiti li ho risolto applicando l'equazione del fascio di piani, determinando lambda e mu, sostituendo le coordinate del punto.
Al 3 quesito viene chiesto di trovare un piano che contiene sempre la retta r, am che è parallelo anche ad una retta s, data in forma parametrica...
Sarebbe quindi come dire che contiene entrambe le rette? In teoria no perché questo piano potrebbe contenere la retta r ed esservi quindi per definizione parallelo, ma per definizione potrebbe anche ssere disgiunto dalla retta s...
Come si risolve questo quesito? Potete darmi qualche dritta?
Ho iniziato dunque a fare qualche esercizio...
Il primo è uno in cui viene data l'equazione della retta r in forma cartesiana e si chiede ai primi due quesiti di :
1)trovare l'equazione del piano contenente la retta r e passante per l'origine;
2)trovare l'equazione del piano contenente la retta r e passante per un punto P dato.
Questi due quesiti li ho risolto applicando l'equazione del fascio di piani, determinando lambda e mu, sostituendo le coordinate del punto.
Al 3 quesito viene chiesto di trovare un piano che contiene sempre la retta r, am che è parallelo anche ad una retta s, data in forma parametrica...
Sarebbe quindi come dire che contiene entrambe le rette? In teoria no perché questo piano potrebbe contenere la retta r ed esservi quindi per definizione parallelo, ma per definizione potrebbe anche ssere disgiunto dalla retta s...
Come si risolve questo quesito? Potete darmi qualche dritta?
Risposte
se il piano deve essere parallelo alla retta $s$ significa che il vettore normale al piano è perpendicolare a $s$, quindi conoscendo una retta del piano( $r$) e il suo vettore normale puoi trovare il piano
Uhm non riesco a venirne a capo...cioè se il vettore è normale alla retta s, la combinazione lineare dei parametri direttori dovrebbe essere zero...
Però questo forse non aiuta in questo esercizio...cioè non so proprio come ricavare l'equazione del piano...cioè seguendo quale algoritmo...
Però questo forse non aiuta in questo esercizio...cioè non so proprio come ricavare l'equazione del piano...cioè seguendo quale algoritmo...
Costruisciti il fascio di piani costituito dalla retta r:$ax+by+cz+d+k(a'x+b'y+c'z+d')=0$.Trovati i parametri direttori dell'altra:$(l,m,n)$.verifica la condizione di
perpendicolarita'tra fascio e retta:$al+bm+cn=0$.trovi k e lo sostituisci al fascio.
perpendicolarita'tra fascio e retta:$al+bm+cn=0$.trovi k e lo sostituisci al fascio.
Allora, in pratica vado a scrivere:
$\lambda(x+y+z-1) + mu(x+2y+1) = 0 $ e questa è l'equazione del mio fascio di piani. I parameteri direttori della retta s già ce li ho, in quanto, dato che la rappresentazione della retta è in forma parametrica, sono già esplicitati e forniti; risulta essere:
$\vec v=(-1,2,-1)$
Adesso si deve fare la combinazione linare tra questi 3 componenti del vettore $\vec v$ e i coefficienti di quale piano?Cioè la retta r è appunto generata dalle equazioni di due piani... Poi non ho capito come trovare $\mu$ per sostituirlo nel fascio di piani...scusa l'ignoranza...
$\lambda(x+y+z-1) + mu(x+2y+1) = 0 $ e questa è l'equazione del mio fascio di piani. I parameteri direttori della retta s già ce li ho, in quanto, dato che la rappresentazione della retta è in forma parametrica, sono già esplicitati e forniti; risulta essere:
$\vec v=(-1,2,-1)$
Adesso si deve fare la combinazione linare tra questi 3 componenti del vettore $\vec v$ e i coefficienti di quale piano?Cioè la retta r è appunto generata dalle equazioni di due piani... Poi non ho capito come trovare $\mu$ per sostituirlo nel fascio di piani...scusa l'ignoranza...
Ti do' un consiglio.Quando trovi un fascio daterminato da una retta non utilizzare $\lambda$ e $\nu$ ma fai come nel procedimento che ho fatto.
$\lambda/(\lambda)(ax+byczd)+\nu/\lambda(a'x+b'x+c'z+d')=0$ poni $\nu/\lambda=k$.Il piano e' quello che ti vai a costruire secondo il parametro k
e avra' i coefficienti a,b,c,d secondo k e poi fai $a(k)l+b(k)*m+c(k)=0$
$\lambda/(\lambda)(ax+byczd)+\nu/\lambda(a'x+b'x+c'z+d')=0$ poni $\nu/\lambda=k$.Il piano e' quello che ti vai a costruire secondo il parametro k
e avra' i coefficienti a,b,c,d secondo k e poi fai $a(k)l+b(k)*m+c(k)=0$
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