Esercizi su Geometria Analitica nello spazio
Salve a tutti, ho un problema con un esercizio riguardante la Geometria Analitica nello spazio
Mi vengono dati due piani π1 : x+y+z−3 = 0 e π2 : x−y+z−3 = 0 e mi viene chiesto:
a) Trovare la sfera tangente al piano π1 in P1(1, 1, 1) ed al piano π2 in P2(1, −1, 1).
b) Determinare la circonferenza massima C di Σ passante per P1 e P2.
c) Trovare le rette tangenti a C nei punti P1 e P2.
nel punto a come procedimento ho cercato le due rette perpendicolari al piano tramite la seguente formula:
$ (x - x1)/ a = (y - y1)/b = (z-z1)/c $
tra le soluzioni mi dice che le rette perpendicolari sono:
r1: x=y=z
r2: x+y=x-z=0.
Da qui le rette si intersecano nell'origine che coincide con il centro della sfera.
Risulta poi che il raggio è uguale alla distanza tra(O,P1) ovvero radice di 3
La soluzione dell'equazione è $ S: x^2 + y^2 + z^2 - 3 = 0 $
E sinceramente non ho capito perché...non mi trovo probabilmente perché sbaglio qualcosa nelle rette perpendicolari e nel loro calcolo...
b) Nel punto b , seguendo il punto a , il piano passante per la sfera è π : x-z=0 (e anche qui mi sfugge il perché)
La circonferenza massima è data quindi dal sistema:
$ { ( x-z=0 ),( x^2+y^2+z^2-3=0 ):} $
c) Nel punto C per trovare le tangenti mette a sistema sempre il piano passante per la sfera con le equazioni del piano.
Il problema è che non mi sto trovando con i calcoli...credo nel calcolo delle perpendicolari.
Sapreste darmi una mano e un chiarimento?
Grazie in anticipo
Mi vengono dati due piani π1 : x+y+z−3 = 0 e π2 : x−y+z−3 = 0 e mi viene chiesto:
a) Trovare la sfera tangente al piano π1 in P1(1, 1, 1) ed al piano π2 in P2(1, −1, 1).
b) Determinare la circonferenza massima C di Σ passante per P1 e P2.
c) Trovare le rette tangenti a C nei punti P1 e P2.
nel punto a come procedimento ho cercato le due rette perpendicolari al piano tramite la seguente formula:
$ (x - x1)/ a = (y - y1)/b = (z-z1)/c $
tra le soluzioni mi dice che le rette perpendicolari sono:
r1: x=y=z
r2: x+y=x-z=0.
Da qui le rette si intersecano nell'origine che coincide con il centro della sfera.
Risulta poi che il raggio è uguale alla distanza tra(O,P1) ovvero radice di 3
La soluzione dell'equazione è $ S: x^2 + y^2 + z^2 - 3 = 0 $
E sinceramente non ho capito perché...non mi trovo probabilmente perché sbaglio qualcosa nelle rette perpendicolari e nel loro calcolo...
b) Nel punto b , seguendo il punto a , il piano passante per la sfera è π : x-z=0 (e anche qui mi sfugge il perché)
La circonferenza massima è data quindi dal sistema:
$ { ( x-z=0 ),( x^2+y^2+z^2-3=0 ):} $
c) Nel punto C per trovare le tangenti mette a sistema sempre il piano passante per la sfera con le equazioni del piano.
Il problema è che non mi sto trovando con i calcoli...credo nel calcolo delle perpendicolari.
Sapreste darmi una mano e un chiarimento?
Grazie in anticipo
Risposte
a) Puoi scrivere in modo immediato le rette che cerchi in forma parametrica al modo seguente:
$$r_1:\qquad x=1+t,\quad y=1+t,\quad z=1+t$$
$$r_2:\qquad x=1+s,\quad y=-1-s,\quad z=1+s$$
(e puoi controllare da te che coincidono con quelle che hai determinato). Le due rette si intersecano in $O(0,0,0)$ che è il centro della sfera e il raggio della stessa risulta $R=P_1O=P_2O=\sqrt{3}$. Pertanto l'equazione della sfera è
$$(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=(\sqrt{3})^2\ \Rightarrow\ x^2+y^2+z^2=3$$
b) devi trovare un piano che passi per i due punti dati. Come fai? Inoltre questo piano deve passare anche per il centro... perché?
c) L'ultimo è semplicemente un calcolo: devi trovare due rette che stanno sul piano trovato al punto b) che risultino tangenti.
$$r_1:\qquad x=1+t,\quad y=1+t,\quad z=1+t$$
$$r_2:\qquad x=1+s,\quad y=-1-s,\quad z=1+s$$
(e puoi controllare da te che coincidono con quelle che hai determinato). Le due rette si intersecano in $O(0,0,0)$ che è il centro della sfera e il raggio della stessa risulta $R=P_1O=P_2O=\sqrt{3}$. Pertanto l'equazione della sfera è
$$(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=(\sqrt{3})^2\ \Rightarrow\ x^2+y^2+z^2=3$$
b) devi trovare un piano che passi per i due punti dati. Come fai? Inoltre questo piano deve passare anche per il centro... perché?
c) L'ultimo è semplicemente un calcolo: devi trovare due rette che stanno sul piano trovato al punto b) che risultino tangenti.
Ciao ciampax innanzitutto grazie per la risposta, visto che ultimamente per motivi di forza maggiore non ho studiato molto. Potresti spiegarmi come portare le due equazioni delle rette in forma parametrica?
Scusami per il disturbo
Scusami per il disturbo
Mi chiedo se tu abbia chiare le formulette di base della geometria solida. Ce le hai chiare? (Risposta, ovvia: NO. Altrimenti la domanda che hai fatto non l'avresti neanche pensata).
Ti consiglio, prima di affrontare esercizi, di imparare e studiare almeno queste cose di base, altrimenti non vai da nessuna parte.
Ti consiglio, prima di affrontare esercizi, di imparare e studiare almeno queste cose di base, altrimenti non vai da nessuna parte.
esercizio svolto...si era una domanda stupida. Ci sono riuscito, grazie mille 
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