Esercizi rette e piani

[tub1]

Ciao ragazzi,

Sto facendo qualche esercizio di geometria e purtroppo non ho le soluzioni per controllare se ciò che ho fatto sia giusto o meno.

Esercizio 1

"Nello spazio euclideo tridimensionale, si determinino:

i) l'equazione della retta $ r $ passante per $ P=(1,0,-2) $ e $ R=(0,1,1) $

ii) L'equazione della retta $ s $ perpendicolare al piano $ p: 2x-y-z-11=0 $ e passante per $ P $

iii) L'equazione di un piano parallelo alla retta $ s $"

Io ho risolto così:

i) Trovo i coefficienti direttori: $ (l,m,n) = (-1,1,3) $ e trovo così l'equazione detta retta
$ x=1-t $
$ y=t $
$ z=-2+3t $

ii) Sapendo che i coefficienti direttori del piano forniscono la direzione di un vettore ortogonale al piano, si ha che la retta perpendicolare e passante per il punto $ P $ sarà:
$ x=1+2t $
$ y=-t $
$ z=-2-t $

iii) Una retta è parallela ad un piano se $ al+bm+cn=0 $ (Generica equazione del piano: $ ax+by+cz+d=0 $)
quindi $ 2a-b-c =0 $
Fisso $ a=1, b=1 $ e ottengo $ c=1 $
allora il piano sarà dato da $ p: x+y+z=0 $

Esercizio 2
Trovare l'equazione di un piano parallelo alla retta $ r $ e $ s $ e passante per il punto $ Q=(2,1,-1) $
$ r: x=1, z=0 $
$ s: 2x+4z=5, y-z=4 $
In $ r $ fisso $ y=t $ e quindi i coefficienti direttori di $ r $ saranno $ (l,m,n) = (0,1,0) $, mentre i coefficienti direttori di $ s $ sono $ (l',m',n')=(-4,2,2) $
Quindi $ p: det((x-2, t-1, z+1),(0,1,0),(-4,2,2)) = 2x+4z=0 $

Sono giusti i procedimenti?

[feddy]

Esercizio 1. ok !
Esercizio 2. Pure

[feddy]

ad ogni modo, per verificare la correttezza delle tue soluzioni, ti consiglio di scaricare un programma come Geogebra che ti permette di visualizzare i risultati ottenuti

In questo modo risparmi anche tempo

[tub1]

Perfetto, vedrò di usarlo