Esercizi per esame

[Valeinrima]

Ciao a tutti ragazzi, vi scrivo per chiedervi un aiuto su degli esercizi del quale non ho i risultati.
Mi potete aiutare nei procedimenti e nello svolgimento? La traccia è questa

http://i40.tinypic.com/10okvwg.jpg

La traccia:
1) Determinare il dominio della seguente funzione:
$f(x,y) = sqrt( sin(2x^2 + 2y^2)$

2) Determinare i punti di massimo e minimo relativi della seguente funzione

$f(x,y) = e^(x-y)$ $(2y^2 - x^2)$

3) risolvere il seguente problema di Cauchy

$\{(Y^{\prime}''.y^{\prime}'-Y' + Y= e^2x + e^-x),(Y(0))=0,(Y'(0))=1, (Y^{\prime}'(0)) = 5/6:}$

4) Sia $ T : RR^4 \rightarrow RR^3$ l'omomorfismo definito da $T(x,y,z,t) = (x-y-2t, y-z, -x+2y-z+2t) $
Calcolare la dimensione e una base di Ker T
Calcolare la dimensione e una base ortonormale di Im I

5) Verificare se la matrice A= $((-1,1,-1),(-1,-4,3),(3,2,-3))$
è diagonalizzabile su $RR$ e su $CC$
In caso alternativo calcolare una matrice di diagonalizzazione

Il mio svolgimento è questo:
http://i43.tinypic.com/qqpz4w.jpg
http://i43.tinypic.com/2na658m.jpg
http://i39.tinypic.com/2nlhf7b.jpg

Esercizio 1:
$f(x,y) = sqrt (sin)2x^2+2y^2)$
l'argomento della radice è maggiore uguale di zero
$sin(2x^2+2y^2) >= 0$
l'argomento del seno quindi è compreso tra
$2k pi <= 2x^2 +2y^2<= 2k pi + k pi$

$2x^2 + 2y^2 <= pi$
$2x^2 + 2y^2 = 0$

Per k = 0
$x^2 + y^2 = Pi/2$ quindi è una circonferenza di raggio $sqrt pi/2$
$x^2 + y^2 = 0$

K>0
$2x^2 + 2y^2 = 2kpi$ quindi una circonferenza di raggio $sqrt k pi$
$2x^2 + 2y^2 = (2k +1) pi$ e quindi una circonferenza di raggio $sqrt (2k+1) pi /2)$

ho detto giusto?

esercizio 3
Risolvere il seguente problema di Cauchy
l'omogenea associata è:
$\{(Y^{\prime}''.y^{\prime}'-Y' + Y= e^2x + e^-x),(Y(0)=0),(Y'(0)=1), (Y^{\prime}'(0) = 5/6:}$

risolvo:

$ lambda^3 - Lambda^2 - Lambda + 1 $

scomponendo:
$(x+1)$ $(x^2 -2x +1)$
quindi
$lambda = -1$
$lambda = 1$

la soluzione è
$y(x) = (C1 e^2x + xBe^-x) +\phi (x) $ ho aggiunto la X per la molteplicità algebrica.

per trovare la soluzione della non omogenea trovo una forma simile.. quindi :
$phi (x) = Ae^(2x)$ $ +xBe^-x$
$ phi^{\prime}$ $(x)$ $ = 2Ae^2x$ $+ Be^-x$ $- xBe^-x$
$phi^{\prime}'$ $(x)$ $= 4Ae^2x$ $-2Be^-x$ $+ xBe^-x$
$phi^{\prime}''$ $(x)$ $= 8Ae^2x$ $+ 3Be^-x$ $- xBe^-x$

sostituendo nell'equazione iniziale e semplificando mi trovo:

$ 3Ae^2x$ $+ 4Be^-x$ $= e^2x$ $ e^-x$

$ 3Ae^2x$ $+ 4Be-x$ $= e^2x$ $+ e^-x$
metto a sistema
$\{(3A = 1),(4B = 1):}$
$\{(A = 1/3), ( B = 1/4):}$

e quindi la soluzione particolare sarà
$(C1 e^-x$ $ , C2 e^x)$ $ + 1/3 e^2x$ $+ 1/4 e^-x$

poi per il problema di Cauchy
$ Y (t) = (C1 e^-x$ $, C2 e^x$ $)$ $\rightarrow$ $Y(0) = 1$
$ Y^{\prime}$ $(t) = (-C1 e^-X$ $, C2e^x$ $)$ $\rightarrow$ $ Y'$ $(0) = 0$
$ Y^{\prime}'$ $(t) = (c1 e^-x$ $, C2 e^x$ $)$ $\rightarrow$ $ Y^{\prime}'$ $(0) = 5/6$

$\{(c1 + c2 = 0),(-c1 + c2 = 1), (c1 + c2 = 5/6):}$
$\{(c2 = - c1),(c1 = -1/2), (c2 =5/6 + 1/2):}$
quindi
$c2 = 4/3$ e $C1 = -1/2$
Soluzione
$ ( -1/2 e^-x$ $, + 4/3 e^x)$ $+ 1/3 e^2x$ $+ 1/4 e^-x$

Esercizio 4
4) Sia $ T : RR^4 \rightarrow RR^3$ l'omomorfismo definito da $T(x,y,z,t) = (x-y-2t, y-z, -x+2y-z+2t) $
Calcolare la dimensione e una base di Ker T
Calcolare la dimensione e una base ortonormale di Im I

$((1,-1,0,-2),(0,1,-1,0),(-1,2,-1,2))$
trovo il rango della matrice che è $3$

quindi
dim Ker T = Dim V - Dim Im I $ = 4 -3 = 1 $
Dim Ker T $ = 1$

con T parametro

$\{(x - y = 2t ),(y - z = 0), (- x + 2y -z = -2t):}$

$\{(y = -2t +x ),(y -z=0), (-x +2(-2t +x) -z = -2t):}$
$\{(y= z),(z=y), (x = 2t +z):}$

quindi il Ker T =$\{(2,1,1):}$
im I = $\{(1,0,-1),(-1,1,2), (0,-1,-1):}$

Non essendo sicuro di questo ultimo passaggio, mi sono fermato quì, con l'ortonormalizzazione come dovevo procedere?

Esercizio 5
5) Verificare se la matrice A= $((-1,1,-1),(-1,-4,3),(3,2,-3))$
è diagonalizzabile su $RR$ e su $CC$
In caso alternativo calcolare una matrice di diagonalizzazione

$(A(I)) = $ $((-1- \lambda,1,-1),(-1,-4 -\lambda,3),(3,2,-3 -lambda))$

$[-1 - \lambda) (-4 - \lambda) (-3 -lambda) +11] - [ 9 - 2 \lambda]$

moltiplicando credo che sarebbe stato inutile, visto che avrei aumentato il grado, quindi mi sono fermato quì non sapendo come procedere. Inoltre, volevo chiedere come si controlla la diagonalizzazione nel campo dei numeri complessi?


esercizio 2:
Determinare i punti di massimo e minimo relativi della seguente funzione

$f(x,y) = e^(x-y)$ $(2y^2 - x^2)$

Questo è stato l'unico esercizio che non ho svolto, potrete mostrarmi come trovare i punti critici?
In questo esercizio pensavo di dover calcolare la derivata in y ed in X e quindi poi costruire la matrice hessiana per trovare i punti di massimo, minimo e flesso.. ma non essendo sicuro sui punti critici mi sono fermato prima di cominciare..
potete aiutarmi?

Riepilogando:
potete aiutarmi nel correggere e completare gli esercizi dove mi sono bloccato? Vi ringrazio.
L'esercizio sulla dimensione del nucleo e dell'immagine ho avuto difficoltà con l'ortonormalizzazione, che è sempre stato il mio incubo XD
Per l'esercizio sulla diagonalizzazione mi sono bloccato, perchè ho avuto problemi con il trovare gli autovalori, non essendo sicuro dell'utilità di moltiplicare e poi semplificare.. inoltre non sò come si diagonalizza sul campo complesso
Per insicurezza non ho svolto l'esercizio sui massimi e minimi di due variabili, potete aiutarmi anche su questo esercizio?
Sò che la richiesta è molto pesante, però è importante per me capire perfettamente come si svolgono questi esercizi.
Vi ringrazio di qualsiasi informazione vorrete darmi.

[minomic]

Ciao, secondo il regolamento testi e svolgimenti dovrebbero essere scritti nel post e non solo allegati in un'immagine. Quando il sito di hosting cancellerà l'immagine questa discussione sarà del tutto inutile.

[Valeinrima]

"minomic":Ciao, secondo il regolamento testi e svolgimenti dovrebbero essere scritti nel post e non solo allegati in un'immagine. Quando il sito di hosting cancellerà l'immagine questa discussione sarà del tutto inutile.

Con un pò di fatica ho scritto tutto ^__^

[Valeinrima]

Non c'è nessuno che può dirmi se ho fatto bene, o dove sbaglio?._.

[minomic]

Ciao, faccio intanto quello della diagonalizzazione perché ho visto che ti sei bloccato quasi subito: prendiamo la matrice $$A=\begin{bmatrix}-1&1&-1\\-1&-4&3\\3&2&-3\end{bmatrix}$$ Calcoliamo gli autovalori risolvendo $$\det \left[A-\lambda I\right] = 0$$ quindi $$\det\begin{bmatrix}-1-\lambda&1&-1\\-1&-4-\lambda&3\\3&2&-3-\lambda\end{bmatrix}=0$$ Purtroppo non c'è nemmeno uno zero, quindi possiamo aspettarci un calcolo non banale. In ogni caso abbiamo $$\left(-1-\lambda\right)\left(-4-\lambda\right)\left(-3-\lambda\right)+9+2+3\left(-4-\lambda\right) + 6\left(1+\lambda\right)-3-\lambda=0$$ Con qualche calcolo si arriva a $$-\lambda^3-8\lambda^2-17\lambda-10=0$$ Ora dobbiamo cercare di scomporre il polinomio. Sfruttando la famosa regola di Ruffini arriviamo in pochi passaggi alla forma $$-\left(\lambda+1\right)\left(\lambda+2\right)\left(\lambda+5\right)=0$$ Possiamo quindi dire che gli autovalori sono $$\lambda_1 = -1\qquad \qquad \lambda_2 = -2\qquad \qquad \lambda_3 = -5$$ ognuno di essi con molteplicità algebrica pari a $1$. Gli autovalori sono tutti semplici, quindi la matrice è sicuramente diagonalizzabile. Procediamo ora al calcolo degli autospazi associati agli autovalori.

Autovalore $\lambda=-1$. $$\text{Ker}\left[A+I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}0&1&-1\\-1&-3&3\\3&2&-2\end{bmatrix} = \ldots = \text{Im}\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$$ Do per scontato che tu non abbia problemi con questi passaggi. In caso contrario dimmelo.

Autovalore $\lambda=-2$. $$\text{Ker}\left[A+2I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&-2&3\\3&2&-1\end{bmatrix} = \ldots = \text{Im}\begin{bmatrix}-1\\2\\1\end{bmatrix}$$

Autovalore $\lambda=-5$. $$\text{Ker}\left[A+5I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}4&1&-1\\-1&1&3\\3&2&2\end{bmatrix} = \ldots = \text{Im}\begin{bmatrix}4\\-11\\5\end{bmatrix}$$

In definitiva possiamo definire la matrice $$P=\begin{bmatrix}0&-1&4\\1&2&-11\\1&1&5\end{bmatrix}$$ la cui inversa è $$P^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{7}{4}&\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{bmatrix}$$ E ora finalmente possiamo diagonalizzare: $$D = P^{-1}AP = \ldots = \begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-2&0\\0&0&-5\end{bmatrix}.$$

[Valeinrima]

Autovalore $\lambda=-1$. $$\text{Ker}\left[A+I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}0&1&-1\\-1&-3&3\\3&2&-2\end{bmatrix} = \ldots = \text{Im}\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}$$ Do per scontato che tu non abbia problemi con questi passaggi. In caso contrario dimmelo.

Autovalore $\lambda=-2$. $$\text{Ker}\left[A+2I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&-2&3\\3&2&-1\end{bmatrix} = \ldots = \text{Im}\begin{bmatrix}-1\\2\\1\end{bmatrix}$$

Autovalore $\lambda=-5$. $$\text{Ker}\left[A+5I\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}4&1&-1\\-1&1&3\\3&2&2\end{bmatrix} = \ldots = \text{Im}\begin{bmatrix}4\\-11\\5\end{bmatrix}$$

Per il primo autovalore sono riuscito a risolvere il sistema, dichiarando Z come parametro.. ma gli altri due sistemi non mi escono, può mostrarmi i passaggi per favore?

[minomic]

Certo. Diciamo che vogliamo trovare $$\text{Ker}\left[A\right] = \text{Ker}\begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&-2&3\\3&2&-1\end{bmatrix}$$ Questo equivale a risolvere il sistema lineare omogeneo espresso in forma matriciale da $$Ax=0$$ Prendiamo quindi la matrice $A$ e applichiamo la riduzione di Gauss: $$\begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&-2&3\\3&2&-1\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1&1&-1\\0&-1&2\\0&-1&2\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1&1&-1\\0&-1&2\\0&0&0\end{bmatrix}$$ Ora prendiamo la terza colonna e la associamo ad un parametro $s$: $$\left[\begin{array}{cc|c}
1&1&s\\0&-1&-2s
\end{array}\right]$$ La seconda componente della soluzione è quindi data da $x_2 = 2s$, mentre la prima è $x_1 = s-x_2 = -s$. In definitiva la soluzione del sistema è data dai vettori del tipo $$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-s\\2s\\s\end{bmatrix} = s\begin{bmatrix}-1\\2\\1\end{bmatrix}$$ Ovviamente il terzo si risolve allo stesso modo.