Esercizi omeomorfismi,spazi compatti e connessi
Ciao a tutti.. potete aiutarmi con questi esercizi?
1] Esibisci uno spazio metrico $(X,d)$ ed un sottoinsieme $S$ chiuso e limitato che non sia compatto.
2] Considera la topologia euclidea su $R^2$. Dire se il sottospazio $S={(x,y) in R^2 | 1< x^2+y^2 >2}$ è connesso o compatto oppure entrambi.
3] Considera $R^n$ con topologia euclidea $(n>1)$ . Mostra che
a] $R^n-{0}$ è omeomorfo a $S^(n-1) x R$
b] $S^(n-1)- {N=(0,...0,1),S=(0,...0,-1}$ è omeomorfo a $S^(n-2)x R$
Il primo.
La metrica discreta no perchè un chiuso potrebbe essere ${x}$ che è limitato ma anche compatto. Quella euclidea no perchè i chiusi e limitati sono compatti... qualche aiuto??
Il secondo.
Graficamente $S$ è costituito da tutte le circonferenze centrate nell'origine $(0,0)$ con raggio $12$. Intuitivamente direi che è connesso perchè in $R^2$ le circonferenze sono connesse.. però per la compattezza non so da dove iniziare e per di più non so come formalizzare la connessione.
Qualche aiuto??
Grazie!!
1] Esibisci uno spazio metrico $(X,d)$ ed un sottoinsieme $S$ chiuso e limitato che non sia compatto.
2] Considera la topologia euclidea su $R^2$. Dire se il sottospazio $S={(x,y) in R^2 | 1< x^2+y^2 >2}$ è connesso o compatto oppure entrambi.
3] Considera $R^n$ con topologia euclidea $(n>1)$ . Mostra che
a] $R^n-{0}$ è omeomorfo a $S^(n-1) x R$
b] $S^(n-1)- {N=(0,...0,1),S=(0,...0,-1}$ è omeomorfo a $S^(n-2)x R$
Il primo.
La metrica discreta no perchè un chiuso potrebbe essere ${x}$ che è limitato ma anche compatto. Quella euclidea no perchè i chiusi e limitati sono compatti... qualche aiuto??
Il secondo.
Graficamente $S$ è costituito da tutte le circonferenze centrate nell'origine $(0,0)$ con raggio $1
Qualche aiuto??
Grazie!!
Risposte
Salve,
per la prima domanda puoi prendere un spazio normato di dimensione infinita, e $S$ la palla unità chiusa.
Per la seconda, puoi mostrare la connessità per arco: se prendi due punti $a,b\in S$, puoi trovare una funzione continua $f:[0,1]\to S$ tale che $f(0)=a$, $f(1)=b$. $S$ non può essere compatto perché non è nemmanco chiuso.
per la prima domanda puoi prendere un spazio normato di dimensione infinita, e $S$ la palla unità chiusa.
Per la seconda, puoi mostrare la connessità per arco: se prendi due punti $a,b\in S$, puoi trovare una funzione continua $f:[0,1]\to S$ tale che $f(0)=a$, $f(1)=b$. $S$ non può essere compatto perché non è nemmanco chiuso.
Per quanto riguarda il punto due, nota che hai scritto male l'insieme: \(S\) è la corona circolare di raggi \(2\) e \(1\), quindi la puoi vedere come unione di connessi che si intersecano...
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