Esercizi forme bilineari

[dattolico_007]

Ciao ragazzi stavo facendo alcuni esercizi sulle forme bilineari che vi scrivo di seguito ma non ho capito alcune richieste. Potreste aiutarmi?
$Esercizio 1$
Si consideri la forma bilineare $varphi:R^4xR^4 ->R$ definita come segue:
$varphi(x,y)=x_1y_1+x_1y_3+x_3y_1-x_2y_2-x_3y_3+2x_4y_4$ per ogni x,y
(1) Determinare la matrice $A$ associata a $varphi$ rispetto ad una base a scelta.
(2) Determinare $kerA$

$Esercizio 2$
Consideriamo nello spazio vettoriale reale $R^3$, riferito alla base canonica, la forma bilineare simmetrica $varphi$ definita come segue:
$varphi(x,y):2x_1y_1+3x_2y_2+28/5x_3y_3-x_1y_2-x_2y_1-2x_1y_3-2x_3y_1+4x_2y_3+4x_3y_2$
(1) Determinare il $ker(varphi)$

Quello che non mi è chiaro è cosa sia il $kerA$ dell'esercizio 1 . Mi sta chiedendo il nucleo di una matrice? Come si calcola?
E il $ker(varphi)$ dell'esercizio 2 credo di aver capito essere il sottospazio ortogonale definito come $V^(_|_) = {v\in V t.c. varphi(v,w)=0, \forall w \in V}$.
Cosa intende per determinare?
Calcolando il rango della matrice associata ho trovato essere $rg(A)=2 Come si calcola tale base? Avevo pensato che poiché $varphi_A(x,y)= x^T A y$ allora considerata $varphi(x,y)=0$ mi bastava porre $x^T A y=0$ però così non ottengo altro che la funzione =0. Non un sistema omogeneo come per il nucleo di un'applicazione lineare.

Potreste aiutarmi? sono veramente in panne.
Vi ringrazio anticipatamente.

[Bokonon]

Ho la sensazione che tu ti perda in un bicchier d'acqua.
La matrice associata ad una forma bilineare simmetrica è una matrice simmetrica.
Il kernel di una matrice e il suo nucleo sono la stessa cosa.
Chiedere il nucleo di un'applicazione o della matrice che la rappresenta è la stessa cosa (per la precisione, sentirai chiamarlo anche "radicale").

Se $w$ sta nel kernel di una matrice A, allora $v^TAw=v^T(Aw)=v^Txxvec(0)=0$
In questo caso anche $w^TAv=(A^Tw)^Tv=(Aw)^Tv=vec(0)^Tv=0$ perchè A è simmetrica.
Non importa che $v$ appartenga al $ker(A)$ o meno: se nel prodotto scalare uno dei due vettori appartiene al nucleo di A, allora $v^TAw=0$. Poichè (quando parliamo di spazi normati questo è uno dei due requisiti) imponiamo che ciò debba avvenire se e solo almeno uno dei due vettori è il vettore nullo, allora il prodotto scalare è degenere (non adatto perché sia una norma).

Le ultime 6 righe che ho scritto sono perfettamente inutili ma ho notato che ti eri ossessionato sul cercare il kernel legandolo mentalmente (non so in che modo) al prodotto (gli anglofoni lo chiamano energia), quando invece entrambi gli esercizi ti stanno semplicemente chiedendo di trovare lo spazio ortogonale alle righe/colonne della matrice (simmetrica)...il classico nucleo di una matrice insomma. Usa Gauss

[dattolico_007]

Perché riflettevo che il nucleo di una applicazione lineare è formato da tutti i vettori v tali che $F(v)=0_W$ che espresso in matrici è $A*v=0_W$. Quindi niente credevo ci fosse una stretta analogia

[Bokonon]

Beh, riflettere è sempre buona cosa.
Spero di aver dissipato i dubbi.

[dattolico_007]

Dubbi decisamente dissipati. Ti ringrazio per il tuo tempo, sei stato gentilissimo.