Esercizi di Topologia
Buongiorno a tutti, vorrei chiedere delucidazioni sui seguenti esercizi di topologia. In particolare per alcuni vorrei sapere se i miei ragionamenti sono utili o incompleti o errati, e nel caso come porvi rimedio. Per altri invece ho proprio necessità di una spinta per capire come partire.
Esercizio 1
Si considerino gli insiemi per $n \geq 1$ intero positivo:
$$C = \bigcup_n C_n \qquad C_n = \{(x, y) \in\mathbb{R}^2: \frac{1}{2n} \leq \sqrt{x^2+y^2} \leq \frac{1}{2n-1}\}$$
$$D = \bigcup_n D_n \qquad C_n = \{(x, y) \in\mathbb{R}^2: 2n-1 \leq \sqrt{x^2+y^2} \leq 2n \}$$
Mi si chiede se siano chiusi $C, D$.
Allora io ho anche provato a disegnare, e sono tutte circonferenze. Per esempio per l'insieme $C$ ho una unione di conconferenze di raggio compreso tra $1/(4n^2)$ e $1/(2n-1)^2$. Quindi per ogni $n$ singolo sono insiemi chiusi e limitati (si lavora sempre nella topologia standard).
La loro unione mi viene da dire che sia anch'essa un insieme chiuso e limitato, per $C$ dico, perché ho pensato di trasporre il problema in $\mathbb{R}$: se ogni circonferenza è un insieme compatto, allora è come se avessi ad esempio $[1/2, 1] \cup [1/4, 1/3] \cup [1/6, 1/5] \cup \ldots \cup \{0\}$ che è quindi chiuso e limitato.
Invece non posso dire la stessa cosa per $D$ poiché sono circonferenze chiuse per i singoli $n$, ma l'unione diventa sempre più grande come cerchi geometrici e per $n\to +\infty$ gli insiemi diventano illimitati. Tuttavia è anche vero che insiemi della forma $[a, +\infty]$ sono considerati chiusi... Ed è qui che mi trovo in difficoltà.
Ho anche provato con la definizione di insieme chiuso ossia che contiene la sua frontiera, e per $C$ mi sembra che la contenga, mentre per $D$ no. Che dite?
Esercizio 2.
Mi si chiede parte interna e frontiera di $A = \{(1/n, 1/m) \in \mathbb{R}^2 : n, m \in\mathbb{N}\setminus\{0\}\}$ sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$.
Ora qui la difficoltà sta nel fatto che è un insieme a sé, non devo trovare unioni o altro. E allora ho pensato che per $n, m$ che vanno all'infinito, raggiungo i punti $(0, 1/m), (1/n, 0), (0, 0)$ ed essi sono da contare nella frontiera di $A$ ossia $$\partial A = A \cup {(1/n, 0)\} \cup \{(0, 1/m)\} \cup \{(0, 0)\}$$
Per la parte interna invece è possibile che sia vuota?
Esercizio 3.
Ultimo esercizio, scusate..
Qui sono in alto mare. Mi si chiede se questi luoghi siano compatti:
$A_1 : f(x, y,z) = x^4 - y + z - 1 = 0$
$A_2: f(x, y, z) = (x^2+y^2-4)^2 + (z-4)^2 - 1 = 0$
Allora intuitivamente il secondo mi dà l'idea di una specie di "palla", dunque sicuramente limitata. Chiusa per via dell'uguaglianza. Il primo invece non ne ho idea. Non mi sembra limitato... Ma non posso disegnarli. Idee?
Grazie davvero!!
Esercizio 1
Si considerino gli insiemi per $n \geq 1$ intero positivo:
$$C = \bigcup_n C_n \qquad C_n = \{(x, y) \in\mathbb{R}^2: \frac{1}{2n} \leq \sqrt{x^2+y^2} \leq \frac{1}{2n-1}\}$$
$$D = \bigcup_n D_n \qquad C_n = \{(x, y) \in\mathbb{R}^2: 2n-1 \leq \sqrt{x^2+y^2} \leq 2n \}$$
Mi si chiede se siano chiusi $C, D$.
Allora io ho anche provato a disegnare, e sono tutte circonferenze. Per esempio per l'insieme $C$ ho una unione di conconferenze di raggio compreso tra $1/(4n^2)$ e $1/(2n-1)^2$. Quindi per ogni $n$ singolo sono insiemi chiusi e limitati (si lavora sempre nella topologia standard).
La loro unione mi viene da dire che sia anch'essa un insieme chiuso e limitato, per $C$ dico, perché ho pensato di trasporre il problema in $\mathbb{R}$: se ogni circonferenza è un insieme compatto, allora è come se avessi ad esempio $[1/2, 1] \cup [1/4, 1/3] \cup [1/6, 1/5] \cup \ldots \cup \{0\}$ che è quindi chiuso e limitato.
Invece non posso dire la stessa cosa per $D$ poiché sono circonferenze chiuse per i singoli $n$, ma l'unione diventa sempre più grande come cerchi geometrici e per $n\to +\infty$ gli insiemi diventano illimitati. Tuttavia è anche vero che insiemi della forma $[a, +\infty]$ sono considerati chiusi... Ed è qui che mi trovo in difficoltà.
Ho anche provato con la definizione di insieme chiuso ossia che contiene la sua frontiera, e per $C$ mi sembra che la contenga, mentre per $D$ no. Che dite?
Esercizio 2.
Mi si chiede parte interna e frontiera di $A = \{(1/n, 1/m) \in \mathbb{R}^2 : n, m \in\mathbb{N}\setminus\{0\}\}$ sottoinsieme di $\mathbb{R}^2$.
Ora qui la difficoltà sta nel fatto che è un insieme a sé, non devo trovare unioni o altro. E allora ho pensato che per $n, m$ che vanno all'infinito, raggiungo i punti $(0, 1/m), (1/n, 0), (0, 0)$ ed essi sono da contare nella frontiera di $A$ ossia $$\partial A = A \cup {(1/n, 0)\} \cup \{(0, 1/m)\} \cup \{(0, 0)\}$$
Per la parte interna invece è possibile che sia vuota?
Esercizio 3.
Ultimo esercizio, scusate..
Qui sono in alto mare. Mi si chiede se questi luoghi siano compatti:
$A_1 : f(x, y,z) = x^4 - y + z - 1 = 0$
$A_2: f(x, y, z) = (x^2+y^2-4)^2 + (z-4)^2 - 1 = 0$
Allora intuitivamente il secondo mi dà l'idea di una specie di "palla", dunque sicuramente limitata. Chiusa per via dell'uguaglianza. Il primo invece non ne ho idea. Non mi sembra limitato... Ma non posso disegnarli. Idee?
Grazie davvero!!
Risposte
1) Quegli insiemi non sono circonferenze, ma corone circolari, l'$n$-esima ha raggio interno $1/(2n)$ e quelli esterno $1/(2n-1)$, non i loro quadrati, e parlando dell'analogia che hai fatto con $RR$, perchè ci dovrebbe stare lo $0$?
Con l'altro che problemi hai ad applicare la definizione?
2) La parte interna è possibile che sia vuota ed infatti lo è, ma va dimostrato, di conseguenza i punti di frontiera sono solo quelli di accumulazione, ovvero: a quali punti può convergere non banalmente una successione contenuta nell'insieme? Quelli che hai trovato effettivamente, ma va dimostrato.
3) Sono evidentemente entrambi chiusi e la tua intuizione è giusta, per il primo riesci a trovare dei valori che soddisfano l'uguaglianza per valori arbitrariamente grandi d $y$? Per l'altro come potresti dimostrare che è limitato?
Con l'altro che problemi hai ad applicare la definizione?
2) La parte interna è possibile che sia vuota ed infatti lo è, ma va dimostrato, di conseguenza i punti di frontiera sono solo quelli di accumulazione, ovvero: a quali punti può convergere non banalmente una successione contenuta nell'insieme? Quelli che hai trovato effettivamente, ma va dimostrato.
3) Sono evidentemente entrambi chiusi e la tua intuizione è giusta, per il primo riesci a trovare dei valori che soddisfano l'uguaglianza per valori arbitrariamente grandi d $y$? Per l'altro come potresti dimostrare che è limitato?
Per il 3.1: fissa \(x=\pm1\), e vedi che accade! 
"otta96":
1) Quegli insiemi non sono circonferenze, ma corone circolari, l'$ n $-esima ha raggio interno $ 1/(2n) $ e quelli esterno $ 1/(2n-1) $, non i loro quadrati, e parlando dell'analogia che hai fatto con $ RR $, perchè ci dovrebbe stare lo $ 0 $?
Con l'altro che problemi hai ad applicare la definizione?
2) La parte interna è possibile che sia vuota ed infatti lo è, ma va dimostrato, di conseguenza i punti di frontiera sono solo quelli di accumulazione, ovvero: a quali punti può convergere non banalmente una successione contenuta nell'insieme? Quelli che hai trovato effettivamente, ma va dimostrato.
3) Sono evidentemente entrambi chiusi e la tua intuizione è giusta, per il primo riesci a trovare dei valori che soddisfano l'uguaglianza per valori arbitrariamente grandi d $ y $? Per l'altro come potresti dimostrare che è limitato?
$1.$ Hai ragione, mi sono espresso malissimo. E li ho pure disegnati... Sono corone circolari sì. E ho anche sbagliato i raggi, nonostante nel disegno li abbia fatti bene. Che disastro... Comunque volevo chiedere: perché lo $0$ non ci dovrebbe stare? Per $n \to +\infty$ l'insieme $C_{\infty}$ è l'origine. Trasponendo in $\mathbb{R}$ (per così dire), l'analogo è lo $0$. O mi sfugge qualcosa?
$2.$ Grazie! Il fatto è che io prima intruisco in modo ruvido e poi passo a dimostrare. Però sapere che già l'intuizione è corretta è molto, per me.
$3.$ Dire che per il secondo passo alla dimostrazione cercando una palla di raggio sufficientemente grande per contenerlo (chiaramente scritto e fatto meglio). Per il primo, seguendo anche il consiglio datomi nell'altra risposta, per $x = \pm 1$ resta $y = z$. Anche qui lo dico male: siccome non ho limite al valore di $y$ (e quindi di $z$) non ho limitatezza. La chiusura invece segue dalla restrizione data sopra, magari cerco di aiutarmi col fatto che insiemi del tipo $[a, +\infty)$ sono chiusi in $\mathbb{R}$, ed estendo a $\mathbb{R}^3$.
Se per favore ci fosse qualche altro consiglio / nota / rimprovero, fammi sapere!!
Grazie ancora.
No, la risposta 3.1 è corretta!
Sulle altre non interferisco!
Sulle altre non interferisco!
E perchè ci dovrebbe stare questo "$C_\infty$"? In corrispondenza di quale $n$ lo stai aggiungendo? Per la 3.2, come puoi maggiorare le quantità $x^2+y^2-4$ e $z^2-4$ singolarmente?
"otta96":
E perchè ci dovrebbe stare questo "$C_\infty$"? In corrispondenza di quale $n$ lo stai aggiungendo? Per la 3.2, come puoi maggiorare le quantità $x^2+y^2-4$ e $z^2-4$ singolarmente?
Non capisco perché NON ci debba stare... L'unione è per $n \geq 1$ quindi $n$ diventerà sempre più grande, e l'insieme $\mathbb{N}$ è infinito quindi è contemplabile pensare all'unione per $n$ all'infinito. Se così non è, ti chiedo di spiegarmi perché non possa esserlo. Cosa mi frena dall'andare all'infinito nell'unione?
Per la seconda domanda, mi viene da dire: $x^2. +y^2 - 4 \leq x^2 + y^2$ e $z^2-4 \leq z^2$ pertanto il tutto è $\leq x^2+y^2+z^2$.
Ma $\infty$ non è mica un numero naturale! Non è un elemento di $NN$, anche se l'insieme è infinito, non c'entra nulla.
$A^2+B^2=1=>|A|<=1,|B|<=1$, questo come lo puoi usare in questo esercizio?
$A^2+B^2=1=>|A|<=1,|B|<=1$, questo come lo puoi usare in questo esercizio?
"otta96":
Ma $\infty$ non è mica un numero naturale! Non è un elemento di $NN$, anche se l'insieme è infinito, non c'entra nulla.
$A^2+B^2=1=>|A|<=1,|B|<=1$, questo come lo puoi usare in questo esercizio?
Ho capito che non è un numero naturale, però scusa allora tu come consideri l'unione PER TUTTI GLI $n \geq 1$? Per quanto mi riuguarda $\bigcup_{n\geq 1} C_n$ per me sta a significare $\bigcup_{n = 1}^{+\infty} C_n$ e quindi all'infinito si arriva al LIMITE di avere $0 \leq x^2+y^2 \leq 0$ ossia l'origine.
TUTTI gli esercizi di questo tipo io li ho sempre visti svolgere considerando quello che succede fino a tale limite. Poi è chiaro che essendo un limite non ci si arriva, ma è comunque un caso da tenere in considerazione, o no? Altrimenti dovrei fermarmi ad un $n$ generico grande a piacere che rende i termini infinitesimi e giocare in quel modo. Ma così facendo non riesco a considerare il vero insieme unione.
Boh, non sto capendo...
Per quanto riguarda l'altra cosa: i due termini sono dunque limitati, ergo chiusura + limitatezza = compattezza (in $\mathbb{R}^n$ con top. standard).
Suggerimento per 3.2: \(1-(z-4)^2=(x^2+y^2-4)^2\geq0\).
"j18eos":
Suggerimento per 3.2: \(1-(z-4)^2=(x^2+y^2-4)^2\geq0\).
Ah ops, è una palla ma non limitata...
...la coordinata \(z\) (dopo gli opporuni calcoli) è limitata oppure no?
"j18eos":
...la coordinata \(z\) (dopo gli opporuni calcoli) è limitata oppure no?
No scherzavo.
Eseguendo un ovvio calcolo ottengo $(z-4)^2 \leq 1 - (x^2+y^2-4)^2$. Ma la quantità a sinistra è sempre positiva o nulla, e allora è come dire $0 \leq (z-4)^2 \leq 1- (x^2+y^2-4)^2$, il che rende $x, y, z$ limitate per necessità.
Ecco, essendo un insieme chiuso e limitato è di conseguenza un insieme compatto!
"j18eos":
Ecco, essendo un insieme chiuso e limitato è di conseguenza un insieme compatto!
Grazieee! P.s. so che non è il modo di chiederlo, ma potresti dare un'occhiata all'altra domande che ho postato sempre nella stessa sezione? È un altro esercizio di topologia, e vorrei SOLO un consiglio su come ho ragionato. Se puoi, se vuoi (oppure ignorami haha)
"GoldenRatio":
Ho capito che non è un numero naturale, però scusa allora tu come consideri l'unione PER TUTTI GLI $n \geq 1$? Per quanto mi riuguarda $\bigcup_{n\geq 1} C_n$ per me sta a significare $\bigcup_{n = 1}^{+\infty} C_n$ e quindi all'infinito si arriva al LIMITE di avere $0 \leq x^2+y^2 \leq 0$ ossia l'origine.
TUTTI gli esercizi di questo tipo io li ho sempre visti svolgere considerando quello che succede fino a tale limite. Poi è chiaro che essendo un limite non ci si arriva, ma è comunque un caso da tenere in considerazione, o no? Altrimenti dovrei fermarmi ad un $n$ generico grande a piacere che rende i termini infinitesimi e giocare in quel modo. Ma così facendo non riesco a considerare il vero insieme unione.
Boh, non sto capendo...
Non funziona così, se $\infty$ non fa parte degli indici dell'unione non lo stai unendo. Se hai visto svolgere degli esercizi così erano sbagliati.
"otta96":
[quote="GoldenRatio"]Ho capito che non è un numero naturale, però scusa allora tu come consideri l'unione PER TUTTI GLI $n \geq 1$? Per quanto mi riuguarda $\bigcup_{n\geq 1} C_n$ per me sta a significare $\bigcup_{n = 1}^{+\infty} C_n$ e quindi all'infinito si arriva al LIMITE di avere $0 \leq x^2+y^2 \leq 0$ ossia l'origine.
TUTTI gli esercizi di questo tipo io li ho sempre visti svolgere considerando quello che succede fino a tale limite. Poi è chiaro che essendo un limite non ci si arriva, ma è comunque un caso da tenere in considerazione, o no? Altrimenti dovrei fermarmi ad un $n$ generico grande a piacere che rende i termini infinitesimi e giocare in quel modo. Ma così facendo non riesco a considerare il vero insieme unione.
Boh, non sto capendo...
Non funziona così, se $\infty$ non fa parte degli indici dell'unione non lo stai unendo. Se hai visto svolgere degli esercizi così erano sbagliati.[/quote]
Ah...
Quindi allora $$ \bigcup_{n \geq 1} C_n \neq \bigcup_{n = 1}^{+\infty} C_n $$ ?
Comunque scusa se lo dico, ma anziché continuare a sindacare su cosa è giusto e cosa no, potresti cercare di dare qualche consiglio e aiuto...
...e come al solito mi sono perso!
Esercizio 1: come disegneresti quegli insiemi? E da ciò desumi almeno la (il)limitatezza?
Esercizio 1: come disegneresti quegli insiemi? E da ciò desumi almeno la (il)limitatezza?
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