Esercizi di geomtria algebrica
Ciao a tutti, posto un esercizio di geometria algebrica che non riesco a risolvere. Spero che qualcuno mi possa dare una mano.
Dimostrare che le varietà proiettive
$X,Y \subset \mathbb{P}^3$
definite rispettivamente da
$xw=yz$
e
$x^2+y^2+z^2=w^2$
non sono isomorfe.
Dimostrare che le varietà proiettive
$X,Y \subset \mathbb{P}^3$
definite rispettivamente da
$xw=yz$
e
$x^2+y^2+z^2=w^2$
non sono isomorfe.
Risposte
Se le diagonalizzi, riducendo la prima in forma normale (la seconda è già a posto), vedi subito che non sono isomorfe.
*missdreamer* giusto una curiosità: quando dici geometria algebrica intendi geometria proiettiva?
no, il fatto è proprio questo. Non siamo in geometria proiettiva, o meglio l'ambiente è lo spazio proiettivo ma io mi sto occupando di varietà e di geometria algebrica. http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_algebrica Quindi credo sia presupposto che io risolva l'esercizio in un modo "algebrico", ma non riesco a capire quale.!
"*missdreamer*":
no, il fatto è proprio questo. Non siamo in geometria proiettiva, o meglio l'ambiente è lo spazio proiettivo ma io mi sto occupando di varietà e di geometria algebrica. http://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_algebrica Quindi credo sia presupposto che io risolva l'esercizio in un modo "algebrico", ma non riesco a capire quale.!
Purtroppo il link di wiki non è esaustivo: intendi che lo devi risolvere utilizzando la definizione di spazio proiettivo come schema? Cioè spazio localmente anellato localmente isomorfo a schemi affini? E per "varietà proiettiva" intendi un $Proj(k[x_1,...,x_n]//I)$ dove $I$ è un ideale omogeneo dell'anello dei polinomi e $k$ un campo? Non hai ipotesi su $k$? E quando dici di dimostrare che non sono isomorfe intendi di dimostrare che non esiste un isomorfismo di schemi $X to Y$ ?
$k$ è algebricamente chiuso
Per il resto è esattamente come hai scritto ed immagino che si debba dimostrare come dici tu! ma io non riesco a farlo!
Per il resto è esattamente come hai scritto ed immagino che si debba dimostrare come dici tu! ma io non riesco a farlo!
Devi scusarmi se non sono praticissimo di questo tipo di esercizi, pur studiando geometria algebrica, perché non ho trattato molto lo spazio proiettivo.
Ciò che dici è curioso perché su un campo algebricamente chiuso le quadriche in geometria proiettiva sono classificate dal rango, e queste due sono entrambe non degeneri. Quindi se quello che dici è vero significa che c'è una differenza che chiamerei sottile tra le due concezioni.
Avete mai fatto esercizi di questo tipo durante il corso? Che teoremi/risultati usate di solito?
"*missdreamer*":
Dimostrare che le varietà proiettive
$X,Y \subset \mathbb{P}^3$
definite rispettivamente da
$xw=yz$
e
$x^2+y^2+z^2=w^2$
non sono isomorfe.
Ciò che dici è curioso perché su un campo algebricamente chiuso le quadriche in geometria proiettiva sono classificate dal rango, e queste due sono entrambe non degeneri. Quindi se quello che dici è vero significa che c'è una differenza che chiamerei sottile tra le due concezioni.
Avete mai fatto esercizi di questo tipo durante il corso? Che teoremi/risultati usate di solito?
non abbiamo mai fatto esercizi simili. Seguiamo il libro di Hartshorne. Proprio perchè non abbiamo mai fatto esercizi simili, non so come procedere!
"*missdreamer*":
Seguiamo il libro di Hartshorne.
Ah però
A mio avviso sei capitata molto bene: sono circondato da specialisti in materia. In realtà le mie domande finora erano atte a capire se stavamo parlando della stessa cosa. Il tuo quesito interessa molto anche a me. E' probabile che entro domani sera riesca a farti sapere qualcosa.
ciao! il punto è che sono isomorfe.. quindi per dimostrarlo devo trovare un isomorfismo, giusto? Sono arrivata alla conclusione che sono isomorfe. Mi aiuteresti a trovare questo isomorfismo? non ho ben chiaro tra cosa dovrei trovarlo
"*missdreamer*":
ciao! il punto è che sono isomorfe.. quindi per dimostrarlo devo trovare un isomorfismo, giusto? Sono arrivata alla conclusione che sono isomorfe. Mi aiuteresti a trovare questo isomorfismo? non ho ben chiaro tra cosa dovrei trovarlo
Ma non avevi detto che dovevi mostrare che non erano isomorfe?
Come diceva matths87 conviene diagonalizzare. La diagonalizzazione corrisponde al poter scrivere la quadrica $xw-yz=0$ nella forma, appunto, diagonale del tipo $x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$. Allora credo che puoi costruire l'isomorfismo semplicemente mandando la quadrupla omogenea $[x:y:z:w]$ in $[x_0:x_1:x_2:x_3]$, vedendo lo spazio proiettivo un po' come "quello che è". Abbiamo trovato qualcosa sull'Hartshorne, esercizio 5.12 pagina 38, forse ti può essere utile.
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