Esercizi di Geometria (Rette e circonferenze)
Salve, vorrei porvi questi due esercizi che stamattina mi hanno davvero fatto impazzire!
1)
"Date le rette r1: \$\{(x=1+t),(y=3-t),(z=2-t):}\$ e r2: \$\{(z=0),(x+y+z=0):}\$ determinare la retta s passante per Po=(1,1,1) ortogonale a r1 e incidente a r2"
2)
"Determinare le equazioni delle circonferenze del piano passanti per i punti A(0,3), B(2,-1) e tangenti alla retta y=-2"
Nel primo esercizio, suppongo che per trovare la retta s incidente per r2, considerando che due rette incidenti hanno in comune un solo piano, trovo questo tramite il fascio di piani e impongo il passaggio per r2 e Po=(1,1,1) trovandomi così la "prima parte" di s.
Ma la seconda parte, ovvero quella ortogonale? So che due rette ortogonali hanno vettori direttori invertiti e cambiati di segno, ma basta?
Nel secondo non so proprio come fare, visto che sono abituato a sapere in che punto le rette siano tangenti..
1)
"Date le rette r1: \$\{(x=1+t),(y=3-t),(z=2-t):}\$ e r2: \$\{(z=0),(x+y+z=0):}\$ determinare la retta s passante per Po=(1,1,1) ortogonale a r1 e incidente a r2"
2)
"Determinare le equazioni delle circonferenze del piano passanti per i punti A(0,3), B(2,-1) e tangenti alla retta y=-2"
Nel primo esercizio, suppongo che per trovare la retta s incidente per r2, considerando che due rette incidenti hanno in comune un solo piano, trovo questo tramite il fascio di piani e impongo il passaggio per r2 e Po=(1,1,1) trovandomi così la "prima parte" di s.
Ma la seconda parte, ovvero quella ortogonale? So che due rette ortogonali hanno vettori direttori invertiti e cambiati di segno, ma basta?
Nel secondo non so proprio come fare, visto che sono abituato a sapere in che punto le rette siano tangenti..
Risposte
1) Per il passaggio finale mancante considera la seguente regola: il vettore $(a,b,c)$ è ortogonale al piano generico $ax+by+cz+d=0$ per ogni $d$.
Prendi dunque come $(a,b,c)$ il vettore direzione di $r_1$: la retta che cerchi giacerà sul piano da esso individuato (per un certo $d$ che trovi usando le altre condizioni, tipo passaggio per un punto).
2) La tangenza tra una retta e una circonferenza di solito la imponi in due modi: o mettendo a sistema l'equazione della circonferenza con quella della retta, risolvere e imporre, quando arrivi ad un'eq. di II grado, il $\Delta=0$ oppure imponendo che la distanza del centro della circonferenza dalla retta (usare formula distanza retta-punto) sia uguale al raggio. Prova a sfruttare uno di questo fatto quando imponi le varie condizioni.
Paola
Prendi dunque come $(a,b,c)$ il vettore direzione di $r_1$: la retta che cerchi giacerà sul piano da esso individuato (per un certo $d$ che trovi usando le altre condizioni, tipo passaggio per un punto).
2) La tangenza tra una retta e una circonferenza di solito la imponi in due modi: o mettendo a sistema l'equazione della circonferenza con quella della retta, risolvere e imporre, quando arrivi ad un'eq. di II grado, il $\Delta=0$ oppure imponendo che la distanza del centro della circonferenza dalla retta (usare formula distanza retta-punto) sia uguale al raggio. Prova a sfruttare uno di questo fatto quando imponi le varie condizioni.
Paola
Ciao paola, intanto grazie per la risposta.
Ho provato a risolvere il primo esercizio, volevo vedere se avevo svolto bene i calcoli e soprattutto ho ragionato giusto!
Abbiamo che s, la retta ortogonale r1 e incidente r2 sarà composta da due piani (due piani formano un'unica retta), partiamo con il primo caso:
1) s passante per Po(1,1,1) e ortogonale r1
Come mi hai suggerito tu ho preso il v direttore di r1, in questo caso vr(1,1,-1) che altro non è che la normale al piano ortogonale a r1 che passa per Po.
Piano: ax+by+cz+d=0 -> Utilizzo vr e abbiamo x+y-z+d=0 -> impongo l'appartenenza di Po al piano 1+1-1+d=0 d=-1
quindi avremo x+y-z-1=0
2) Come scritto nel primo post utilizzo il fascio di piani per Po e r2 -> x+y+z+h(z)=0 1+1+1+h(1)=0 h=-3
quindi avremo x+y+-2z=0
La retta s sarà composta dai piani x+y-2z=0 e x+y-z-1=0
E' corretto?
Intanto provo a fare pure il secondo esercizio e ti faccio sapere...ma per ora vorrei sapere se almeno il primo sono riuscito a farlo correttamente! Grazieee
Ho provato a risolvere il primo esercizio, volevo vedere se avevo svolto bene i calcoli e soprattutto ho ragionato giusto!
Abbiamo che s, la retta ortogonale r1 e incidente r2 sarà composta da due piani (due piani formano un'unica retta), partiamo con il primo caso:
1) s passante per Po(1,1,1) e ortogonale r1
Come mi hai suggerito tu ho preso il v direttore di r1, in questo caso vr(1,1,-1) che altro non è che la normale al piano ortogonale a r1 che passa per Po.
Piano: ax+by+cz+d=0 -> Utilizzo vr e abbiamo x+y-z+d=0 -> impongo l'appartenenza di Po al piano 1+1-1+d=0 d=-1
quindi avremo x+y-z-1=0
2) Come scritto nel primo post utilizzo il fascio di piani per Po e r2 -> x+y+z+h(z)=0 1+1+1+h(1)=0 h=-3
quindi avremo x+y+-2z=0
La retta s sarà composta dai piani x+y-2z=0 e x+y-z-1=0
E' corretto?
Intanto provo a fare pure il secondo esercizio e ti faccio sapere...ma per ora vorrei sapere se almeno il primo sono riuscito a farlo correttamente! Grazieee
Procedimento ok! Solo una nota: secondo la consegna che hai scritto nel primo post, a me risulta che il vettore direzione di $r_1$ sia $(1,-1,-1)$.
A parte questa svista (non so se l'errore è nel primo post o nell'ultimo ), va bene!
Paola
A parte questa svista (non so se l'errore è nel primo post o nell'ultimo
), va bene!Paola
Ciao Paola grazie per la risposta. Si è stata una mia svista, speriamo non mi capiti durante l'esame ahahah.. Per il secondo esercizio ci ho ragionato su..noi abbiamo questi due punti e una retta tangente, quindi C potrebbe essere l'intersezione tra la retta ortogonale a quella tangente e segmento AB dove intendo quel segmento che passa per un punto generico P(x,y) equidistante sia da A che da B (spero di essermi fatto capire, in pratica pongo distanza(P,A)=distanza(P,B).
Il mio problema è trovare proprio la retta ortogonale, in quanto non so dove la retta tangente si incontri con la circonferenza, suggerimenti?
Ps. So benissimo che c'è la soluzione dove basta porre A e B alla circonferenza e la retta tangente, ma basta davvero quella?
Il mio problema è trovare proprio la retta ortogonale, in quanto non so dove la retta tangente si incontri con la circonferenza, suggerimenti?
Ps. So benissimo che c'è la soluzione dove basta porre A e B alla circonferenza e la retta tangente, ma basta davvero quella?
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