Esercizi di Geometria ed algebra lineare (non riesco a risolverli)
Ciao ragazzi,come ho gia detto non riesco a risolvere questi esercizi, ho l'esame parziale il 6 In portoghese 
(sono in erasmus! Spero mi possiate aiutare!
1)
Considera i sottospazi :
$ U1= {(x,y,z) € R^3 : x+y+z=0) $
$ U2= <(1,1,1)> $
mostrare che la somma chiusa è uguale ad R3.
2) Determinare i valori di a per i quali i vettori costituiscono una base:
$ (1,a,1) (1,2,a),(3,1,1) $
Grazie mille!
(sono in erasmus! Spero mi possiate aiutare!1)
Considera i sottospazi :
$ U1= {(x,y,z) € R^3 : x+y+z=0) $
$ U2= <(1,1,1)> $
mostrare che la somma chiusa è uguale ad R3.
2) Determinare i valori di a per i quali i vettori costituiscono una base:
$ (1,a,1) (1,2,a),(3,1,1) $
Grazie mille!
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum.
Il secondo non è difficile: è sufficiente affiancare i vettori formando la matrice $$\begin{pmatrix}1&1&3\\a&2&1\\1&a&1\end{pmatrix}$$ e imporre che il suo rango sia $3$, quindi che il suo determinante non sia nullo.
Il secondo non è difficile: è sufficiente affiancare i vettori formando la matrice $$\begin{pmatrix}1&1&3\\a&2&1\\1&a&1\end{pmatrix}$$ e imporre che il suo rango sia $3$, quindi che il suo determinante non sia nullo.
Per somma chiusa intendi somma diretta?
basta applicare la definizione: devi verificare che la somma dei sottospazi è tutto \(\displaystyle \mathbb R^3 \) e che ogni vettore di \(\displaystyle \mathbb R^3 \) si scrive in modo unico come somma di un vettore di $U_1$ e di un vettore di $U_2$ (dalla teoria dovresti sapere che ciò accade se e solo se $U_1 nn U_2={0}$).
$(1,1,1)$ non risolve $x+y+z=0$, pertanto $U_1 nn U_2={0}$.
Quando lavori con somme di sottospazi, la strada solitamente più breve è usare la formula di Grassmann
\(\displaystyle \mathrm{dim}U_1+U_2=\mathrm{dim}U_1+\mathrm{dim}U_2-\mathrm{dim}U_1 \cap U_2 \)
nel nostro caso \(\displaystyle \mathrm{dim}U_2=1 \) e \(\displaystyle \mathrm{dim}U_1 \cap U_2=0 \), quindi per dimostrare che \(\displaystyle U_1 \oplus U_2=\mathbb R^3 \) basta provare che \(\displaystyle \mathrm{dim}U_1=2 \)
basta applicare la definizione: devi verificare che la somma dei sottospazi è tutto \(\displaystyle \mathbb R^3 \) e che ogni vettore di \(\displaystyle \mathbb R^3 \) si scrive in modo unico come somma di un vettore di $U_1$ e di un vettore di $U_2$ (dalla teoria dovresti sapere che ciò accade se e solo se $U_1 nn U_2={0}$).
$(1,1,1)$ non risolve $x+y+z=0$, pertanto $U_1 nn U_2={0}$.
Quando lavori con somme di sottospazi, la strada solitamente più breve è usare la formula di Grassmann
\(\displaystyle \mathrm{dim}U_1+U_2=\mathrm{dim}U_1+\mathrm{dim}U_2-\mathrm{dim}U_1 \cap U_2 \)
nel nostro caso \(\displaystyle \mathrm{dim}U_2=1 \) e \(\displaystyle \mathrm{dim}U_1 \cap U_2=0 \), quindi per dimostrare che \(\displaystyle U_1 \oplus U_2=\mathbb R^3 \) basta provare che \(\displaystyle \mathrm{dim}U_1=2 \)
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