Esercizi di geometria
Salve a tutti. Vorrei proporvi due esercizi di geometria che non sono riuscita a risolvere. Mi scuso anticipatamente se potranno sembravi banali. Il testo è il seguente:
Vi ringrazio anticipatamente per qualsiasi vostra risposta.
Vi ringrazio anticipatamente per qualsiasi vostra risposta.
Risposte
Il forum richiede un tentativo di risoluzione da parte tua. Capisco che nell'esame/sezione di esercizi tu possa non essere riuscita a farli, ma ci avrai provato. Le varie definizioni ti sono chiare?
Comunque riguardo al primo ti do qualche dritta: è perpendicolare ad una retta e quindi risiede in un piano perpendicolare a tale retta. L'insieme dei piani perpendicolari ad una retta (il fascio se preferisci) partizione tutto lo spazio e quindi ce ne sarà uno che passa per il punto considerato. A quel punto se l'ultima retta non risiede nel piano che stai considerando (cosa che suppongo non succeda) allora possiedi due punto e, come sai, per due punti passa una e una sola retta.
Comunque riguardo al primo ti do qualche dritta: è perpendicolare ad una retta e quindi risiede in un piano perpendicolare a tale retta. L'insieme dei piani perpendicolari ad una retta (il fascio se preferisci) partizione tutto lo spazio e quindi ce ne sarà uno che passa per il punto considerato. A quel punto se l'ultima retta non risiede nel piano che stai considerando (cosa che suppongo non succeda) allora possiedi due punto e, come sai, per due punti passa una e una sola retta.
Mi scuso sentitamente per l'inconveniente; avrei certamente pubblicato il metodo di risoluzione che avevo provato ad usare, che comunque, viste le sue opportune considerazioni, si sarebbe rivelato sbagliato. Ad ogni modo,vorrei ringraziarla per la sua disponibilità! Riguardo alle definizioni, direi che mi sono abbastanza chiare: posso costruire un fascio di piani che passa per il punto dato dall'esercizio, ovvero 
. Non capisco,tuttavia, come imporre la condizione di ortogonalità e contemporaneamente di incidenza alla retta che mi è stata chiesta. Una volta costruito il fascio, come lei mi ha consigliato, l'avrei studiato trovandomi così l'equazione di una retta .....ma quest'ultima quale condizione soddisfa? Direi che sono proprio confusa!
Ringrazio ancora una volta per qualsiasi forma di risposta.
. Non capisco,tuttavia, come imporre la condizione di ortogonalità e contemporaneamente di incidenza alla retta che mi è stata chiesta. Una volta costruito il fascio, come lei mi ha consigliato, l'avrei studiato trovandomi così l'equazione di una retta .....ma quest'ultima quale condizione soddisfa? Direi che sono proprio confusa!Ringrazio ancora una volta per qualsiasi forma di risposta.
ciao!
Io ho provato a risolvere cosi il primo.
Esplicita le rette in forma cartesiana (fa comodo)
$r= { ( x=t ),( y=3 ),( z=-t ):}$
$s= { ( x=-5-2t ),( y=t ),( z=1 ):}$
dopodiche, come ti è stato detto sopra, la rette deve essere ortogonale a s, cio implica che la retta appartiene a un piano del tipo $ 2x+y=d$
tra questi piani quello che contiene A è $2x+y=2 $
ok ora hai il piano contentente A e ortogonale ad s, la tua retta
fa parte di questo piano
passa per A
è incidente a R
Da cui ho utilizzato il metodo per lo studio della posizione relativa di due rette...
Ho quindi inserito I piani caratterizzanti la retta R ed il piano su cui so che giacie la mia retta
$( ( 2 ,1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 0 , 3 ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( ? , ? , ? , ? ) ) $
ora l'unica cosa che resta da fare è determinare il piano che
se intersecato con $2x+y=2 $ contenga A -> piano del tipo $ ax+by+cz=d $ con $ a+c=d $
porti la matrice soprastante ad avere Rk(A)=Rk(A|B)=3 (condizione di intersezione tra due rette) -> il piano e combinazione lineare degli altri piani!
in particolare io ho scelto
$( 2 ,1 , 0 , 2 )+3* ( 1 , 0 , 1 , 0 )+2*( 0 , 1 , 0 , 3 )= ( 5,3,3,8) $ -> $ 5x+3y+3z=8$
ora hai la tua retta
$t= { (5x+3y+3z=8 ),( 2x+y=2 ):}$
e verifichi che le condizioni siano soddisfatte, a me torna tutto a meno di errori di calcolo ma non studio geometria da tanto tempo per assicurarti che il procedimento sia corretto e soprattutto efficiente..
ciao!
Io ho provato a risolvere cosi il primo.
Esplicita le rette in forma cartesiana (fa comodo)
$r= { ( x=t ),( y=3 ),( z=-t ):}$
$s= { ( x=-5-2t ),( y=t ),( z=1 ):}$
dopodiche, come ti è stato detto sopra, la rette deve essere ortogonale a s, cio implica che la retta appartiene a un piano del tipo $ 2x+y=d$
tra questi piani quello che contiene A è $2x+y=2 $
ok ora hai il piano contentente A e ortogonale ad s, la tua retta
fa parte di questo piano
passa per A
è incidente a R
Da cui ho utilizzato il metodo per lo studio della posizione relativa di due rette...
Ho quindi inserito I piani caratterizzanti la retta R ed il piano su cui so che giacie la mia retta
$( ( 2 ,1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 0 , 3 ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( ? , ? , ? , ? ) ) $
ora l'unica cosa che resta da fare è determinare il piano che
se intersecato con $2x+y=2 $ contenga A -> piano del tipo $ ax+by+cz=d $ con $ a+c=d $
porti la matrice soprastante ad avere Rk(A)=Rk(A|B)=3 (condizione di intersezione tra due rette) -> il piano e combinazione lineare degli altri piani!
in particolare io ho scelto
$( 2 ,1 , 0 , 2 )+3* ( 1 , 0 , 1 , 0 )+2*( 0 , 1 , 0 , 3 )= ( 5,3,3,8) $ -> $ 5x+3y+3z=8$
ora hai la tua retta
$t= { (5x+3y+3z=8 ),( 2x+y=2 ):}$
e verifichi che le condizioni siano soddisfatte, a me torna tutto a meno di errori di calcolo ma non studio geometria da tanto tempo per assicurarti che il procedimento sia corretto e soprattutto efficiente..
ciao!
Per quanto riguarda il 2
Prova a analizzare specifica per specifica il problema e i vincoli che implica sui 4 parametri del piano e ne esci facilmente
Prova a analizzare specifica per specifica il problema e i vincoli che implica sui 4 parametri del piano e ne esci facilmente
@Franco : Dopo che avevi trovato il piano potevi anche solo usare questo metodo: trovo il punto \(\displaystyle B \) dato dall'intersezione di \(\displaystyle r \) ed il piano \(\displaystyle 2x+y=2 \). In altre parole basta trovare il \(\displaystyle t \) tale che \(\displaystyle 2t+3=2 \) cioè \(\displaystyle t = -\frac12 \). Sostituendo ricavi il punto \(\displaystyle B = \left(\frac{1}{2}, 3, -\frac{1}{2}\right) \). La retta cercata sarà perciò \(\displaystyle A + tB \).
P.S.: Non ho mai studiato né amato le soluzioni standard ai problemi geometrici
. Comunque anche io non risolvo questi problemi da tempo, e magari il professore/professoressa preferisce la forma implicita.
P.S.: Non ho mai studiato né amato le soluzioni standard ai problemi geometrici
. Comunque anche io non risolvo questi problemi da tempo, e magari il professore/professoressa preferisce la forma implicita.
Grazie mille per il vostro aiuto. Siete stati gentilissimi! Mi metto subito a lavoro per correggere tutti i miei errori di svolgimento. Vi mando i miei più cordiali saluti. Ancora grazie!
Riguardo al secondo (ci sarà qualche metodo più usuale) io partirei dal punto \(\displaystyle (2,3,2) \). Il piano che cerchi dista \(\displaystyle 1 \) da questo punto e quindi è un piano tangente della sfera unitaria centrata in quel punto. Per comodità traslerei quindi lo spazio mandando \(\displaystyle (2,3,2) \) in \(\displaystyle (0,0,0) \). Ricordati che devi anche traslare tutto il resto.
Esiste canonicamente una associazione tra punti su quella sfera e vettori unitari e si dà il caso che i vettori normali in un punto della sfera sia appunto il vettore unitario associato a quel punto. Tutto questo per dire che un piano tangente è un piano che passa per un punto della sfera con vettore normale con le stesse coordinate del punto della sfera (per ora ti conviene fare caso al solo vettore normale).
A quel punto trovato il vettore direzione rella retta \(\displaystyle r \) (quello non cambia per traslazioni!) imponi che il vettore normale alla sfera sia ortogonale al vettore normale al piano tangente alla sfera.
Infine imponi il passaggio per il punto e ritrasli tutto indietro. Ma puoi ovviamente fare il tutto al contrario.
Esiste canonicamente una associazione tra punti su quella sfera e vettori unitari e si dà il caso che i vettori normali in un punto della sfera sia appunto il vettore unitario associato a quel punto. Tutto questo per dire che un piano tangente è un piano che passa per un punto della sfera con vettore normale con le stesse coordinate del punto della sfera (per ora ti conviene fare caso al solo vettore normale).
A quel punto trovato il vettore direzione rella retta \(\displaystyle r \) (quello non cambia per traslazioni!) imponi che il vettore normale alla sfera sia ortogonale al vettore normale al piano tangente alla sfera.
Infine imponi il passaggio per il punto e ritrasli tutto indietro. Ma puoi ovviamente fare il tutto al contrario.
"vict85":
@Franco : Dopo che avevi trovato il piano potevi anche solo usare questo metodo: trovo il punto \( \displaystyle B \) dato dall'intersezione di \( \displaystyle r \) ed il piano \( \displaystyle 2x+y=2 \). In altre parole basta trovare il \( \displaystyle t \) tale che \( \displaystyle 2t+3=2 \) cioè \( \displaystyle t = -\frac12 \). Sostituendo ricavi il punto \( \displaystyle B = \left(\frac{1}{2}, 3, -\frac{1}{2}\right) \). La retta cercata sarà perciò \( \displaystyle A + tB \).
Si decisamente piu veloce
grazie
ti segnalo solo due possibili piccole sviste.
Il punto è \( \displaystyle B = \left(-\frac{1}{2}, 3, \frac{1}{2}\right) \).
la retta passante per AB è perciò \( \displaystyle A + t(B-A) \).
Si, avevo scritto velocemente
Mi scuso per il ritardo e vi ringrazio ancora una volta per avermi aiutata a risolvere il tutto. Grazie mille!
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