Esercizi di fantasia ..ma non troppo

Sk_Anonymous
1)Siano ABC un triangolo acutangolo scaleno , AD e AV
altezza e bisettrice relative al lato BC.
La circonf. circoscritta ad AVD incontra AC e AB
nei punti E ed F rispettivamente.
Dimostrare che le rette AD,BE,CF sono concorrenti.

2)Dimostrare la diseguaglianza:
1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)
dove a,b,c sono tre reali positivi qualunque.

3)Trovare tutte le f(x):R-->R che verificano la relazione:
f(x+1)=f(x)+2x+4
Buon ..divertimento.

karl.

Risposte
Sk_Anonymous
Per fireball.
1/a+1/b+1/c e' diverso da 1/(a+b+c)!
La diseguaglianza e' vera.
karl.

Legolas87
f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4=
f(x-2)+2(x-2)+2(x-1)+2*4=
...
=f(x-n)+2((x-n)+...+(x-1))+4n

f(n)=f(0)+n(n-1)+4n
a questo punto azzardo un

f(x)=x²+3x+costante

anche se l'ho giustificata solo per x naturale

Maverick2
fornisco una dimostrazione della due anche se non mi piace perchè non è intelligente.

porto tutto a sinistra e ho f(a,b,c)>=0
adesso faccio le mie belle derivate parziali in a b c e trovo il
grad(f)

pongo uguale a 0 il gradiente e trovo che l'unica condizione di stazionarietà è a=b=c e osservo che è un punto di minimo.
perciò per a=b=c f=0 (si verifica facilmente) mentre per tutti gli altri vale la disuguaglianza stretta.


N.B. avevo provato a considerare una soluzione "circuitale" con tre resistenze a b c in parallelo ed in serie ma non ci ho ricavato niente...

Sk_Anonymous
La funzione e' quella, anche se va definita
in R e non in N.Non dovrebbe essere difficile
se si ricorre alle derivate.
karl

Sk_Anonymous
Per Maverick.
Indubbiamente la tua e' una soluzione
possibile,tuttavia si puo'giungere al
risultato con mezzi meno...imponenti.
Qualcuno ricorda la relazione tra media
aritmetica e media geometrica?
karl.

tony19
avete chiamato l'elettricista?
*quote:

2)Dimostrare la diseguaglianza:
1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)
dove a,b,c sono tre reali positivi qualunque.


scusate il ritardo, ... ero da un altro cliente, che aveva un problema con a,b,c,d e coefficiente 16.

[1] ho 3 resistenze ra, rb, rc, che suppongo ra<rb<rc
[2] la conduttanza 1/rp delle tre messe in parallelo è 1/a + 1/b + 1/c
(primo membro della disequaz.)
[3] la condutt. 1/rs delle tre collegate in serie è 1/(a+b+c)
(denom. del secondo membro)
[4] devo dimostrare che 1/rp>9/rs (qualunque ne sia il possibile senso fisico)
[5] la condutt. 1/rp avrà valore max = 3/ra se ra=rb=rc
(tre da 100 ohm in parallelo danno 33.3 ohm)
[6] in quasto caso la condutt. equivalente 1/rs sarebbe 1/3ra
(le tre da 100 ohm in serie danno 300 ohm)
[7] sempre in questo caso avrei esattamente 1/rp = 9/rs
[8 ] aumentando rb ed rc, rp tende ad ra (100 ohm in parall. a due da 1 Mohm fa 100 meno un pelo (meno due, vai!)
[9] invece rs tenderebbe all'infinito (100 in serie a 2 da 1 M fa 2 Mega e un po')
[10] rp aumenta meno velocemente di rs e quindi il rapporto 1/rp : 1/rs aumenterà, dal 9 del punto [7].

meno male che sono rilassato, e quindi lavoro "a bassa tensione"

tony

*Edited by - tony on 25/04/2004 08:13:43

Maverick2
che bello, allora la mia idea delle resistenze funzionava!

Sk_Anonymous
Suggestiva risposta quella di Tony,che non
finisce mai di stupirmi con i suoi brillanti
(e concettosi) posts.
Come avevo suggerito,posto la mia soluzione
basata sul fatto che:(x+y+y)/3>=(xyz)
(media aritm>=media geom).
Dunque :
1/a+1/b+1/c>=3*[1/(abc)]
ovvero :
1/a+1/b+1/c>=3/(abc)
Ma (a+b+c)/3>=(abc) e pertanto:
1/a+1/b+1/c>=>3/[(a+b+c)/3] ovvero:
1/a+1/b+1/c>=>9/(a+b+c)
Saluti da karl.





Modificato da - karl il 25/04/2004 20:09:09

Sk_Anonymous
Quesito sul triangolo.
Cominciamo con l'osservare che i triangoli rettangoli
AFV e AVE sono congruenti per avere l'ipotenusa AV
in comune e gli angoli FAV e VAE congruenti per ipotesi,
quindi AF=AE.
Applichiamo ora il teorema delle secanti (uscenti da
B e C )ed il teorema della bisettrice e si ha:
BD/BF=BA/BV
CE/CD=CV/CA
CV/BV=CA/BA
Moltiplicando m.a.m e semplificando:
BD/CD*CE/BF=1
oppure (ricordando che AF=AE):
BD/CD*CE/AE*AF/BF=1
Qundi per il teorema di Menelao (reciproco del teorema di Ceva)
le tre ceviane AV,BE,CF concorrono n un medesimo punto.
karl.

tony19
sicuramente, Maverick: una formula "attira" una certa soluzione
1/(1/a+1/b+1/c) >= 9/(a+b+c)
*quote:

che bello, allora la mia idea delle resistenze funzionava! [Mmaverick]

mi rimane un dubbio:
quando, nel mio msg prec. ridacchiando, dicevo

"scusate il ritardo, ... ero da un altro cliente, che aveva un problema con a,b,c,d e coefficiente 16."

avevo azzeccato il fatto che con 4 resistenze (pardon, numeri!)
il coeff. di comparazione non è più 9 ma 16?

tony


*Edited by - tony on 27/04/2004 02:32:06

Sk_Anonymous
Per tony.
Il tuo ragionamento per 4 numeri e' esatto.
Volendo si puo' generalizzare il risultato e
scrivere:
[k=1..n]1/N(k)>= n/[k=1..n]N(k).
Spero che tu non sia come uno degli elettricisti
alla "Striscia la notizia" che prendono 100 euro
.....per alzare l'interruttore del salvavita.
karl.

























Modificato da - karl il 27/04/2004 15:16:52

Modificato da - karl il 27/04/2004 15:18:03

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