Esercizi di fantasia ..ma non troppo
1)Siano ABC un triangolo acutangolo scaleno , AD e AV
altezza e bisettrice relative al lato BC.
La circonf. circoscritta ad AVD incontra AC e AB
nei punti E ed F rispettivamente.
Dimostrare che le rette AD,BE,CF sono concorrenti.
2)Dimostrare la diseguaglianza:
1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)
dove a,b,c sono tre reali positivi qualunque.
3)Trovare tutte le f(x):R-->R che verificano la relazione:
f(x+1)=f(x)+2x+4
Buon ..divertimento.
karl.
altezza e bisettrice relative al lato BC.
La circonf. circoscritta ad AVD incontra AC e AB
nei punti E ed F rispettivamente.
Dimostrare che le rette AD,BE,CF sono concorrenti.
2)Dimostrare la diseguaglianza:
1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)
dove a,b,c sono tre reali positivi qualunque.
3)Trovare tutte le f(x):R-->R che verificano la relazione:
f(x+1)=f(x)+2x+4
Buon ..divertimento.
karl.
Risposte
Per fireball.
1/a+1/b+1/c e' diverso da 1/(a+b+c)!
La diseguaglianza e' vera.
karl.
1/a+1/b+1/c e' diverso da 1/(a+b+c)!
La diseguaglianza e' vera.
karl.
f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4=
f(x-2)+2(x-2)+2(x-1)+2*4=
...
=f(x-n)+2((x-n)+...+(x-1))+4n
f(n)=f(0)+n(n-1)+4n
a questo punto azzardo un
f(x)=x²+3x+costante
anche se l'ho giustificata solo per x naturale
f(x-2)+2(x-2)+2(x-1)+2*4=
...
=f(x-n)+2((x-n)+...+(x-1))+4n
f(n)=f(0)+n(n-1)+4n
a questo punto azzardo un
f(x)=x²+3x+costante
anche se l'ho giustificata solo per x naturale
fornisco una dimostrazione della due anche se non mi piace perchè non è intelligente.
porto tutto a sinistra e ho f(a,b,c)>=0
adesso faccio le mie belle derivate parziali in a b c e trovo il
grad(f)
pongo uguale a 0 il gradiente e trovo che l'unica condizione di stazionarietà è a=b=c e osservo che è un punto di minimo.
perciò per a=b=c f=0 (si verifica facilmente) mentre per tutti gli altri vale la disuguaglianza stretta.
N.B. avevo provato a considerare una soluzione "circuitale" con tre resistenze a b c in parallelo ed in serie ma non ci ho ricavato niente...
porto tutto a sinistra e ho f(a,b,c)>=0
adesso faccio le mie belle derivate parziali in a b c e trovo il
grad(f)
pongo uguale a 0 il gradiente e trovo che l'unica condizione di stazionarietà è a=b=c e osservo che è un punto di minimo.
perciò per a=b=c f=0 (si verifica facilmente) mentre per tutti gli altri vale la disuguaglianza stretta.
N.B. avevo provato a considerare una soluzione "circuitale" con tre resistenze a b c in parallelo ed in serie ma non ci ho ricavato niente...
La funzione e' quella, anche se va definita
in R e non in N.Non dovrebbe essere difficile
se si ricorre alle derivate.
karl
in R e non in N.Non dovrebbe essere difficile
se si ricorre alle derivate.
karl
Per Maverick.
Indubbiamente la tua e' una soluzione
possibile,tuttavia si puo'giungere al
risultato con mezzi meno...imponenti.
Qualcuno ricorda la relazione tra media
aritmetica e media geometrica?
karl.
Indubbiamente la tua e' una soluzione
possibile,tuttavia si puo'giungere al
risultato con mezzi meno...imponenti.
Qualcuno ricorda la relazione tra media
aritmetica e media geometrica?
karl.
avete chiamato l'elettricista?
scusate il ritardo, ... ero da un altro cliente, che aveva un problema con a,b,c,d e coefficiente 16.
[1] ho 3 resistenze ra, rb, rc, che suppongo ra<rb<rc
[2] la conduttanza 1/rp delle tre messe in parallelo è 1/a + 1/b + 1/c
(primo membro della disequaz.)
[3] la condutt. 1/rs delle tre collegate in serie è 1/(a+b+c)
(denom. del secondo membro)
[4] devo dimostrare che 1/rp>9/rs (qualunque ne sia il possibile senso fisico)
[5] la condutt. 1/rp avrà valore max = 3/ra se ra=rb=rc
(tre da 100 ohm in parallelo danno 33.3 ohm)
[6] in quasto caso la condutt. equivalente 1/rs sarebbe 1/3ra
(le tre da 100 ohm in serie danno 300 ohm)
[7] sempre in questo caso avrei esattamente 1/rp = 9/rs
[8 ] aumentando rb ed rc, rp tende ad ra (100 ohm in parall. a due da 1 Mohm fa 100 meno un pelo (meno due, vai!)
[9] invece rs tenderebbe all'infinito (100 in serie a 2 da 1 M fa 2 Mega e un po')
[10] rp aumenta meno velocemente di rs e quindi il rapporto 1/rp : 1/rs aumenterà, dal 9 del punto [7].
meno male che sono rilassato, e quindi lavoro "a bassa tensione"
tony
*Edited by - tony on 25/04/2004 08:13:43
*quote:
2)Dimostrare la diseguaglianza:
1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)
dove a,b,c sono tre reali positivi qualunque.
scusate il ritardo, ... ero da un altro cliente, che aveva un problema con a,b,c,d e coefficiente 16.
[1] ho 3 resistenze ra, rb, rc, che suppongo ra<rb<rc
[2] la conduttanza 1/rp delle tre messe in parallelo è 1/a + 1/b + 1/c
(primo membro della disequaz.)
[3] la condutt. 1/rs delle tre collegate in serie è 1/(a+b+c)
(denom. del secondo membro)
[4] devo dimostrare che 1/rp>9/rs (qualunque ne sia il possibile senso fisico)
[5] la condutt. 1/rp avrà valore max = 3/ra se ra=rb=rc
(tre da 100 ohm in parallelo danno 33.3 ohm)
[6] in quasto caso la condutt. equivalente 1/rs sarebbe 1/3ra
(le tre da 100 ohm in serie danno 300 ohm)
[7] sempre in questo caso avrei esattamente 1/rp = 9/rs
[8 ] aumentando rb ed rc, rp tende ad ra (100 ohm in parall. a due da 1 Mohm fa 100 meno un pelo (meno due, vai!)
[9] invece rs tenderebbe all'infinito (100 in serie a 2 da 1 M fa 2 Mega e un po')
[10] rp aumenta meno velocemente di rs e quindi il rapporto 1/rp : 1/rs aumenterà, dal 9 del punto [7].
meno male che sono rilassato, e quindi lavoro "a bassa tensione"

tony
*Edited by - tony on 25/04/2004 08:13:43
che bello, allora la mia idea delle resistenze funzionava!
Suggestiva risposta quella di Tony,che non
finisce mai di stupirmi con i suoi brillanti
(e concettosi) posts.
Come avevo suggerito,posto la mia soluzione
basata sul fatto che:(x+y+y)/3>=
(xyz)
(media aritm>=media geom).
Dunque :
1/a+1/b+1/c>=3*
[1/(abc)]
ovvero :
1/a+1/b+1/c>=3/
(abc)
Ma (a+b+c)/3>=
(abc) e pertanto:
1/a+1/b+1/c>=>3/[(a+b+c)/3] ovvero:
1/a+1/b+1/c>=>9/(a+b+c)
Saluti da karl.
Modificato da - karl il 25/04/2004 20:09:09
finisce mai di stupirmi con i suoi brillanti
(e concettosi) posts.
Come avevo suggerito,posto la mia soluzione
basata sul fatto che:(x+y+y)/3>=

(media aritm>=media geom).
Dunque :
1/a+1/b+1/c>=3*

ovvero :
1/a+1/b+1/c>=3/

Ma (a+b+c)/3>=

1/a+1/b+1/c>=>3/[(a+b+c)/3] ovvero:
1/a+1/b+1/c>=>9/(a+b+c)
Saluti da karl.
Modificato da - karl il 25/04/2004 20:09:09
Quesito sul triangolo.
Cominciamo con l'osservare che i triangoli rettangoli
AFV e AVE sono congruenti per avere l'ipotenusa AV
in comune e gli angoli FAV e VAE congruenti per ipotesi,
quindi AF=AE.
Applichiamo ora il teorema delle secanti (uscenti da
B e C )ed il teorema della bisettrice e si ha:
BD/BF=BA/BV
CE/CD=CV/CA
CV/BV=CA/BA
Moltiplicando m.a.m e semplificando:
BD/CD*CE/BF=1
oppure (ricordando che AF=AE):
BD/CD*CE/AE*AF/BF=1
Qundi per il teorema di Menelao (reciproco del teorema di Ceva)
le tre ceviane AV,BE,CF concorrono n un medesimo punto.
karl.
Cominciamo con l'osservare che i triangoli rettangoli
AFV e AVE sono congruenti per avere l'ipotenusa AV
in comune e gli angoli FAV e VAE congruenti per ipotesi,
quindi AF=AE.
Applichiamo ora il teorema delle secanti (uscenti da
B e C )ed il teorema della bisettrice e si ha:
BD/BF=BA/BV
CE/CD=CV/CA
CV/BV=CA/BA
Moltiplicando m.a.m e semplificando:
BD/CD*CE/BF=1
oppure (ricordando che AF=AE):
BD/CD*CE/AE*AF/BF=1
Qundi per il teorema di Menelao (reciproco del teorema di Ceva)
le tre ceviane AV,BE,CF concorrono n un medesimo punto.
karl.
sicuramente, Maverick: una formula "attira" una certa soluzione
1/(1/a+1/b+1/c) >= 9/(a+b+c)
mi rimane un dubbio:
quando, nel mio msg prec. ridacchiando, dicevo
"scusate il ritardo, ... ero da un altro cliente, che aveva un problema con a,b,c,d e coefficiente 16."
avevo azzeccato il fatto che con 4 resistenze (pardon, numeri!)
il coeff. di comparazione non è più 9 ma 16?
tony
*Edited by - tony on 27/04/2004 02:32:06
1/(1/a+1/b+1/c) >= 9/(a+b+c)
*quote:
che bello, allora la mia idea delle resistenze funzionava! [Mmaverick]
mi rimane un dubbio:
quando, nel mio msg prec. ridacchiando, dicevo
"scusate il ritardo, ... ero da un altro cliente, che aveva un problema con a,b,c,d e coefficiente 16."
avevo azzeccato il fatto che con 4 resistenze (pardon, numeri!)
il coeff. di comparazione non è più 9 ma 16?
tony
*Edited by - tony on 27/04/2004 02:32:06
Per tony.
Il tuo ragionamento per 4 numeri e' esatto.
Volendo si puo' generalizzare il risultato e
scrivere:
[k=1..n]1/N(k)>= n
/
[k=1..n]N(k).
Spero che tu non sia come uno degli elettricisti
alla "Striscia la notizia" che prendono 100 euro
.....per alzare l'interruttore del salvavita.
karl.
Modificato da - karl il 27/04/2004 15:16:52
Modificato da - karl il 27/04/2004 15:18:03
Il tuo ragionamento per 4 numeri e' esatto.
Volendo si puo' generalizzare il risultato e
scrivere:



Spero che tu non sia come uno degli elettricisti
alla "Striscia la notizia" che prendono 100 euro
.....per alzare l'interruttore del salvavita.
karl.
Modificato da - karl il 27/04/2004 15:16:52
Modificato da - karl il 27/04/2004 15:18:03