Esercizi di algebra lineare che non mi vengono
ciao vi posto un paio di esercizi che non capisco come si fanno---
1) Dimostrare che il K-spazio vettoriale K[X] di tutti i polinomi con coefficienti in K non è finitamente generato.
2) I tre polinomi
1+x+2x^2
2x+x^3
1+2x^2-x^3
sono linearmente dipendenti o indipendenti in R[X]? (e in K[X], per altri campi K?)
scusate ma ho un sacco di problemi sui polinomi..non capisco nemmeno perche formano uno spazio vettoriale!!
mi scrivete i passaggi con cui ci siete arrivati?grazie 1000!!
1) Dimostrare che il K-spazio vettoriale K[X] di tutti i polinomi con coefficienti in K non è finitamente generato.
2) I tre polinomi
1+x+2x^2
2x+x^3
1+2x^2-x^3
sono linearmente dipendenti o indipendenti in R[X]? (e in K[X], per altri campi K?)
scusate ma ho un sacco di problemi sui polinomi..non capisco nemmeno perche formano uno spazio vettoriale!!
mi scrivete i passaggi con cui ci siete arrivati?grazie 1000!!
Risposte
ok,prossimo esercizio 
:
sia $((\lambda_{1},a_{1,2},...,a_{1,n}),(0,\lambda_{2},a_{2,3},...,a_{2,n}),(...,...,...,...),(...,...,...,a_{n-1,n}),(0,...,0,\lambda_{n}))$ una matrice quardata triangolare. Dire, in termini dei coefficienti $a_{i,j}$ , quando la matrice è diagonalizzabile se:
i) tutti i $\lambda_i$ sono uguali;
ii) tutti i $\lambda_i$ sono distinti;
iii)$\lambda_1,...,\lambda_{n-1})$ sono uguali e distinti da $\lambda_n$ (giustificare le risposte)
:sia $((\lambda_{1},a_{1,2},...,a_{1,n}),(0,\lambda_{2},a_{2,3},...,a_{2,n}),(...,...,...,...),(...,...,...,a_{n-1,n}),(0,...,0,\lambda_{n}))$ una matrice quardata triangolare. Dire, in termini dei coefficienti $a_{i,j}$ , quando la matrice è diagonalizzabile se:
i) tutti i $\lambda_i$ sono uguali;
ii) tutti i $\lambda_i$ sono distinti;
iii)$\lambda_1,...,\lambda_{n-1})$ sono uguali e distinti da $\lambda_n$ (giustificare le risposte)
sai sergio, ho sempre paura di fare gli esercizi non avendo le soluzioni, perche queste sono le fotocopie che ci ha dato il prof in preparazione all'esame di martedi,quindi non so se faccio giusto...perlomeno so che ci siete voi che siete molto bravi, quindi in ogni caso se uno sbaglia qui viene corretto..e io ''prendo atto''..capisci?
ne ho tanti di esercizi da postare, ma se pensi che sia sbagliato forse è meglio che non li propongo piu...che dici?
ne ho tanti di esercizi da postare, ma se pensi che sia sbagliato forse è meglio che non li propongo piu...che dici?
hai perfettamente ragione...cioe io ci provo a farli, non è che mi diverto a scriverli qui..è semplicemente per sapere se ho fatto errori o se mancano passaggi...
per esempio,nell'ultimo esercizio ho fatto il tuo stesso ragionamento. Solo che per il punto iii) avevo un po di dubbi. Per cui ho postato..quello dei polinomi invece non l'avevo proprio capito..
per esempio,nell'ultimo esercizio ho fatto il tuo stesso ragionamento. Solo che per il punto iii) avevo un po di dubbi. Per cui ho postato..quello dei polinomi invece non l'avevo proprio capito..
ne ho un altro che non ho capito..se volete divertirvi a provare...ma penso sia un po complicato..
Sia $F: V to W$ un'applicazione tra spazi vettoriali $V$ e $W$, e
$U = {(v,F(v)):v in V} sub VxxW$
(il ''grafico'' di $F$). Dimostrare che $F$ è lineare se e solo se $U$ è un sottospazio di $VxxW$.
si procede per forza per assurdo immagino...perlomeno sulla seconda parte della dimostrazione..ma non riesco a trovare la contraddizione...
Sia $F: V to W$ un'applicazione tra spazi vettoriali $V$ e $W$, e
$U = {(v,F(v)):v in V} sub VxxW$
(il ''grafico'' di $F$). Dimostrare che $F$ è lineare se e solo se $U$ è un sottospazio di $VxxW$.
si procede per forza per assurdo immagino...perlomeno sulla seconda parte della dimostrazione..ma non riesco a trovare la contraddizione...
non riesco a capire come fanno a venirti cosi automatici questi ragionamenti 
per dimostrare il viceversa non riesco a ragionare per assurdo..
Dunque, devo dimostrare che $F$ è lineare, quindi devo sviluppare $F(av_1 + bv_2)$...fino ad arrivare alla conclusione che è uguale a $aF(v_1)+bF(v_2)$ utilizzando l'ipotesi che $U$ è sottospazio..
come fai a dire che è facile??
per dimostrare il viceversa non riesco a ragionare per assurdo..
Dunque, devo dimostrare che $F$ è lineare, quindi devo sviluppare $F(av_1 + bv_2)$...fino ad arrivare alla conclusione che è uguale a $aF(v_1)+bF(v_2)$ utilizzando l'ipotesi che $U$ è sottospazio..
come fai a dire che è facile??
"Arad0R":
ho sempre paura di fare gli esercizi non avendo le soluzioni, perche queste sono le fotocopie che ci ha dato il prof in preparazione all'esame di martedi,quindi non so se faccio giusto...
Scusate se mi intrometto.
Esistono libri interi di esercizi svolti, con le soluzioni commentate passaggio per passaggio.
A me sono stati molto utili, sia per geometria e algebra lineare che per analisi.
Ci potrebbero anche stare esercizi simili (o esattamente identici
) a quelli che assegna il prof, a me è capitato.Comunque mi associo, carini gli esercizi sul grafico di F e sugli autovalori.
Ciao
Leonardo
Gia..ho preso un ottimo manuale di esercitazioni di geometria 1. E ottimo come libro,e mi ha risolto un bel po di problemi. Gli esercizi che posto però non si trovano là (tipo quello del grafico di F, che non l'avevo mai sentito 
) . Più che altro perché vorrei trovare la strategia risolutiva per gli esercizi.
Spesse volte la trovo, ma altre proprio non mi ricordo di usare le definizioni, e quindi vado in palla...forse il punto più difficile per risolvere problemi di questo tipo è da dove cominciare a ragionare, poi (più o meno!!) vengono automatici i risultati.
) . Più che altro perché vorrei trovare la strategia risolutiva per gli esercizi.Spesse volte la trovo, ma altre proprio non mi ricordo di usare le definizioni, e quindi vado in palla...forse il punto più difficile per risolvere problemi di questo tipo è da dove cominciare a ragionare, poi (più o meno!!) vengono automatici i risultati.
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