Esercizi di algebra lineare
Ho qui 3 esercizi di algebra lineare da svolgere.
1) Determinare una base di $R^4$ contenente i vettori $(1,1,0,0)$ e $(0,0,0,3)$
è un esercizio di completamento a base, affinchè sia base deve essere L.I, e il modo migliore e veloce che ho trovato è stato metterci 2 vettori per fare la riduzione a gradini:
$((1,1,0,0),(0,1,2,3),(0,0,2,5),(0,0,0,3))$
2) esistono basi di $R^4$ contenente il sistema di vettori ${(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,1,1,1)}$? Perchè?
Non si può formare una base a partire da questi tre vettori perchè sono L.D
infatti se fatta la somma ai primi due viene proprio il terzo vettore.
3)Dire per quali valori del parametro reale h il seguente sistema di vettori di R3 è indipendente : $S = { (0, 1, 1), (1, -2, 1), (1, 0, h) }$
$((0, 1, 1), (1, -2, 1), (1, 0, h))$
affinchè sia indipendendente pongo il determinante diverso da $0$
prt cui mi viene $h=!3$
4)Vedere se il sottoinsieme $W={((0,a,b),(0,-a,-b))}$ con $a,b$ di $R$
è non vuoto.
vedo se è stabile rispetto alla somma
$((0,a,b),(0,-a,-b))+((0,c,d),(0,-c,-d))$
vedo se è stabile rispetto al prodotto esterno.
rispetto a quello esterno [ho il dubbio] non lo è:
perchè per un $alpha= -1$ $a$ e $b$ cambiano segno....
5) Dato il sistema:
$S= {(1,0,1),(-1,0,2),(1,1,-2),(1,1,1)}$
a) $S$ è una base di $R^3$?
No ci sono 4 vettori invece di 3, e quindi sono L.D
b)S è un sistema di generatori di $R^3$?
Si perchè ha 3 vettori L.I: $(1,0,1),(-1,0,2),(1,1,-2)$
1) Determinare una base di $R^4$ contenente i vettori $(1,1,0,0)$ e $(0,0,0,3)$
è un esercizio di completamento a base, affinchè sia base deve essere L.I, e il modo migliore e veloce che ho trovato è stato metterci 2 vettori per fare la riduzione a gradini:
$((1,1,0,0),(0,1,2,3),(0,0,2,5),(0,0,0,3))$
2) esistono basi di $R^4$ contenente il sistema di vettori ${(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,1,1,1)}$? Perchè?
Non si può formare una base a partire da questi tre vettori perchè sono L.D
infatti se fatta la somma ai primi due viene proprio il terzo vettore.
3)Dire per quali valori del parametro reale h il seguente sistema di vettori di R3 è indipendente : $S = { (0, 1, 1), (1, -2, 1), (1, 0, h) }$
$((0, 1, 1), (1, -2, 1), (1, 0, h))$
affinchè sia indipendendente pongo il determinante diverso da $0$
prt cui mi viene $h=!3$
4)Vedere se il sottoinsieme $W={((0,a,b),(0,-a,-b))}$ con $a,b$ di $R$
è non vuoto.
vedo se è stabile rispetto alla somma
$((0,a,b),(0,-a,-b))+((0,c,d),(0,-c,-d))$
vedo se è stabile rispetto al prodotto esterno.
rispetto a quello esterno [ho il dubbio] non lo è:
perchè per un $alpha= -1$ $a$ e $b$ cambiano segno....
5) Dato il sistema:
$S= {(1,0,1),(-1,0,2),(1,1,-2),(1,1,1)}$
a) $S$ è una base di $R^3$?
No ci sono 4 vettori invece di 3, e quindi sono L.D
b)S è un sistema di generatori di $R^3$?
Si perchè ha 3 vettori L.I: $(1,0,1),(-1,0,2),(1,1,-2)$
Risposte
Direi che è quasi tutto corretto, ho qualche dubbio sul punto 4.
1_Perchè ti dovrebbe chiedere se è non vuoto? Cioè, basta che sostituisci $ a = 1 $ e $ b = 0 $ e hai già un elemento diverso dallo 0.
2_Stabile rispetto alla somma e al prodotto esterno vorrebbe dire chiuso rispetto alla somma e al prodotto esterno? (cioè se $ lambda w_1, \ w_2 in W -> lambda w_1+w_2 in W $?)
Perchè mi sembra chiuso rispetto ad entrambi: infatti
$ ((0, lambda a, lambda b),(0, -lambda a, -lambda b)) + ((0,c,d),(0,-c,-d)) = ((0, lambda a +c, lambda b+d),(0,-lambda a - c, -lambda b-d)) = A $: a questo punto chiama $ w = lambda a + c $ e $ v = lambda b + d $ e ottieni $ A = ((0,w,v),(0,-w,-v)) in W $. Spero che aiuti.
1_Perchè ti dovrebbe chiedere se è non vuoto? Cioè, basta che sostituisci $ a = 1 $ e $ b = 0 $ e hai già un elemento diverso dallo 0.
2_Stabile rispetto alla somma e al prodotto esterno vorrebbe dire chiuso rispetto alla somma e al prodotto esterno? (cioè se $ lambda w_1, \ w_2 in W -> lambda w_1+w_2 in W $?)
Perchè mi sembra chiuso rispetto ad entrambi: infatti
$ ((0, lambda a, lambda b),(0, -lambda a, -lambda b)) + ((0,c,d),(0,-c,-d)) = ((0, lambda a +c, lambda b+d),(0,-lambda a - c, -lambda b-d)) = A $: a questo punto chiama $ w = lambda a + c $ e $ v = lambda b + d $ e ottieni $ A = ((0,w,v),(0,-w,-v)) in W $. Spero che aiuti.
Credo che il tuo suggerimento è quello esatto. Io ero in dubbio, appunto per quel piccolo passaggio che hai fatto te.
Ora i miei dubbi è su questa domanda:
1) i sottospazi $W=L[(2,3,1),(1,1,-1)] $ e $Z=L[(1,1,-1),(1,2,-2),(-1,-5,5)]$
hanno la stessa dimensione?
$W$ è L.I quindi ha $dim=2$
per $Z$ ho molte perplessità, è vero che il testo dice che è un sottospazio, ma quei tre vettori sono L.D, però solo due di essi sono L.I, cioè:
$(1,2,-2)$ e $(-1,-5,5)$
quindi mi viene da dire $dimZ=2$
hanno la stessa dimensione.
che ne pensate?
Ora i miei dubbi è su questa domanda:
1) i sottospazi $W=L[(2,3,1),(1,1,-1)] $ e $Z=L[(1,1,-1),(1,2,-2),(-1,-5,5)]$
hanno la stessa dimensione?
$W$ è L.I quindi ha $dim=2$
per $Z$ ho molte perplessità, è vero che il testo dice che è un sottospazio, ma quei tre vettori sono L.D, però solo due di essi sono L.I, cioè:
$(1,2,-2)$ e $(-1,-5,5)$
quindi mi viene da dire $dimZ=2$
hanno la stessa dimensione.
che ne pensate?
Sono d'accordo sul fatto che abbiano la stessa dimensione: però non ti sorprendere, anche W come definito nel tuo primo messaggio è un sottospazio eppure ha dimensione 1 addirittura.
Sì perchè un vettore dipende linearmente dall'altro. L'importante non è dire 'sottospazio' ma vedere quanti vettori linearmente indipendenti ci sono in quel sottospazio, giusto?
[ho altri esercizi semi-simili, al massimo li posterò sempre qui, da non aprire altri topics]
grazie.
[ho altri esercizi semi-simili, al massimo li posterò sempre qui, da non aprire altri topics]
grazie.
Beh dipende dalla richiesta dell'esercizio: se ti chiede quale è la sua dimensione sì, se ti chiede se è un sottospazio, no.
Il fatto che sia un sottospazio -ovviamente- non dipende da quanti vettori è costituita una sua base.
Il fatto che sia un sottospazio -ovviamente- non dipende da quanti vettori è costituita una sua base.
Il continuo dell'esercizio mi crea un pò di dubbi:
1) Dati i sottoinsiemi:
$U={(x,2x,z): x,z di R}$ e $V={(x,0,x): x di R}$
A) provare che U è sottospazio di $R^3$ e che ${(1,2,0),(0,0,1)}$ è una base di $U$
è sottospazio perchè è stabile rispetto alla somma [$(1,2,0)+(4,8,1)=(5,10,1)$]
${(1,2,0),(0,0,1)}$ è al max di generatori [ma non base, me ne servono 3 di vettori di U]: devo trovare una combinazione di questi 2 vettori i cui scalari sono tutti nulli:
$alpha*(1,2,0)+beta*(0,0,1)=0$
infatti mi viene $alpha=0$ e $beta=0$
B) provare che V è sottospazio di $R^3$ e determinare una base
è sottospazio perchè stabile rispetto a somma e prodotto:
$(x,0,x)+(y,0,y)=(x+y,0,x+y)$
$beta(x,0,x)=(beta*x,0,beta*x)$
non riesco a costruirci una base, se prendo 3 vettori di quel tipo, sono L.D, quindi non so se esiste una base....
1) Dati i sottoinsiemi:
$U={(x,2x,z): x,z di R}$ e $V={(x,0,x): x di R}$
A) provare che U è sottospazio di $R^3$ e che ${(1,2,0),(0,0,1)}$ è una base di $U$
è sottospazio perchè è stabile rispetto alla somma [$(1,2,0)+(4,8,1)=(5,10,1)$]
${(1,2,0),(0,0,1)}$ è al max di generatori [ma non base, me ne servono 3 di vettori di U]: devo trovare una combinazione di questi 2 vettori i cui scalari sono tutti nulli:
$alpha*(1,2,0)+beta*(0,0,1)=0$
infatti mi viene $alpha=0$ e $beta=0$
B) provare che V è sottospazio di $R^3$ e determinare una base
è sottospazio perchè stabile rispetto a somma e prodotto:
$(x,0,x)+(y,0,y)=(x+y,0,x+y)$
$beta(x,0,x)=(beta*x,0,beta*x)$
non riesco a costruirci una base, se prendo 3 vettori di quel tipo, sono L.D, quindi non so se esiste una base....
Mi sembra che ci sia un po' di confusione riguardo a tali problemi.
Per verificare se un insieme $W $ è sottospazio, bisogna verificare se è chiuso (o, come dici tu, stabile) rispetto alla somma e al prodotto esterno: cioè, se è $W $ spazio (o sottospazio) su $K$ campo, $ AAw_1,\ w_2 in W,\ AA lambda in K $ si ha che $ lambda w_1 + w_2 in W $ o se vuoi, separando le cose, $ lambda w_1 in W $ e $ w_1 + w_2 in W $.
Quindi prendiamo due elementi $ u_1,\ u_2 in U$: essi saranno del tipo $ u_1 = (a,2a,b),\ u_2 = (c,2c,d)$: vedo se $u$ è sottospazio cercando di applicarne le proprietà: sia $lambda in RR,\ lambda u_1 + u_2 = (lambda a + c , 2 (lambda a + c) , lambda b + d) $. A questo punto, come avevo già fatto prima, chiama $ x = lambda a + c, z= lambda b + d $ e noti che $ lambda u_1 +u_2 = (x,2x,z) -> lambda u_1 +u_2 in U$ e quindi $U$ è sottospazio.
In questo caso $ K = RR$.
Non ho ben capito da dove peschi i vettori per provare (in un modo che non mi è chiaro) che $U$ è sottospazio.
Un metodo "furbo" per ricavarti al volo la base che ti dice il libro è questo: $ U = {(x,2x,z):\ x,z in RR $ quindi $ U = {(x,2x,0)+(0,0,z):\ x,z in RR } = {x(1,2,0)+z(0,0,1):\ x,z in RR}$. Quindi ogni vettore è generato da una combinazione lineare dei 2 vettori $ a_1 = (1,2,0),\ a_2 = (0,0,1) $: la domanda è se $a_1,\ a_2$ sono indipendenti (ed è piuttosto evidente che lo siano: quindi essi costituiscono una base per $U$ e quindi $U$ ha dimensione 2.
La dimostrazione che $V$ è sottospazio è giusta (perchè l'hai fatta in modo diverso per $U$?) e pulita. La base si ottiene facilmente in quanto $ V = {(x,0,x}:\ x in RR} -> {x(1,0,1):\ x in RR }$ quindi $V$ è generato dalle combinazioni lineari di 1 solo vettore, in quanto ogni elemento di $V$ è scrivibile come $x(1,0,1):\ x in RR $. Un solo vettore costituisce un sistema indipendente di vettori, per quanto ovvio sia, quindi da solo è una base per $V$ e quindi la dimensione di $V$ è 1.
Spero di essere stato chiaro e d'aiuto, scusa la prolissità.
Per verificare se un insieme $W $ è sottospazio, bisogna verificare se è chiuso (o, come dici tu, stabile) rispetto alla somma e al prodotto esterno: cioè, se è $W $ spazio (o sottospazio) su $K$ campo, $ AAw_1,\ w_2 in W,\ AA lambda in K $ si ha che $ lambda w_1 + w_2 in W $ o se vuoi, separando le cose, $ lambda w_1 in W $ e $ w_1 + w_2 in W $.
Quindi prendiamo due elementi $ u_1,\ u_2 in U$: essi saranno del tipo $ u_1 = (a,2a,b),\ u_2 = (c,2c,d)$: vedo se $u$ è sottospazio cercando di applicarne le proprietà: sia $lambda in RR,\ lambda u_1 + u_2 = (lambda a + c , 2 (lambda a + c) , lambda b + d) $. A questo punto, come avevo già fatto prima, chiama $ x = lambda a + c, z= lambda b + d $ e noti che $ lambda u_1 +u_2 = (x,2x,z) -> lambda u_1 +u_2 in U$ e quindi $U$ è sottospazio.
In questo caso $ K = RR$.
Non ho ben capito da dove peschi i vettori per provare (in un modo che non mi è chiaro) che $U$ è sottospazio.
Un metodo "furbo" per ricavarti al volo la base che ti dice il libro è questo: $ U = {(x,2x,z):\ x,z in RR $ quindi $ U = {(x,2x,0)+(0,0,z):\ x,z in RR } = {x(1,2,0)+z(0,0,1):\ x,z in RR}$. Quindi ogni vettore è generato da una combinazione lineare dei 2 vettori $ a_1 = (1,2,0),\ a_2 = (0,0,1) $: la domanda è se $a_1,\ a_2$ sono indipendenti (ed è piuttosto evidente che lo siano: quindi essi costituiscono una base per $U$ e quindi $U$ ha dimensione 2.
La dimostrazione che $V$ è sottospazio è giusta (perchè l'hai fatta in modo diverso per $U$?) e pulita. La base si ottiene facilmente in quanto $ V = {(x,0,x}:\ x in RR} -> {x(1,0,1):\ x in RR }$ quindi $V$ è generato dalle combinazioni lineari di 1 solo vettore, in quanto ogni elemento di $V$ è scrivibile come $x(1,0,1):\ x in RR $. Un solo vettore costituisce un sistema indipendente di vettori, per quanto ovvio sia, quindi da solo è una base per $V$ e quindi la dimensione di $V$ è 1.
Spero di essere stato chiaro e d'aiuto, scusa la prolissità.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo