Esercizi con parametri, matrici e applicazioni lineari
Salve a tutti,
non ho ben capito come devo risolvere questi due esercizi nonostante sia stata un'intera giornata a pensarci,
mi potreste aiutare?
Vi ringrazio infinitamente in anticipo
Il primo è questo:
1.
Al variare dei parametri $h_1, h_2, h_3$ appartenente a R, sia assegnata la matrice A:
$((1,h_1,h_2),(h_1-2,-3,-2h_2),(0,h_1,h_3))$
determinare i valori dei parametri $h_1,h_2,h_3$ affinchè il vettore $u=(1,2,-2)$ sia un autovettore di A, relativo all'autovalore $\lambda= 1$
2. Assegnata l'applicazione lineare $f: M_2 (R) \to R^3$ definita, al variare di k appartenente a R, da:
$f_k((x,y),(z,w)) = ((k-1)y +2z+2w, x+(1-k)z-k^2w, kx +y-3kw)$
e sia
$u_k=((k^2,-2),(0,k-1))$
trovare il valore di k affinchè $u_k$ appartenga a $ker(f_k)$ e le equazioni di un sottospazio supplementare di $ker(f_k)$
Grazie a tutti!!
non ho ben capito come devo risolvere questi due esercizi nonostante sia stata un'intera giornata a pensarci,
mi potreste aiutare?Vi ringrazio infinitamente in anticipo
Il primo è questo:
1.
Al variare dei parametri $h_1, h_2, h_3$ appartenente a R, sia assegnata la matrice A:
$((1,h_1,h_2),(h_1-2,-3,-2h_2),(0,h_1,h_3))$
determinare i valori dei parametri $h_1,h_2,h_3$ affinchè il vettore $u=(1,2,-2)$ sia un autovettore di A, relativo all'autovalore $\lambda= 1$
2. Assegnata l'applicazione lineare $f: M_2 (R) \to R^3$ definita, al variare di k appartenente a R, da:
$f_k((x,y),(z,w)) = ((k-1)y +2z+2w, x+(1-k)z-k^2w, kx +y-3kw)$
e sia
$u_k=((k^2,-2),(0,k-1))$
trovare il valore di k affinchè $u_k$ appartenga a $ker(f_k)$ e le equazioni di un sottospazio supplementare di $ker(f_k)$
Grazie a tutti!!
Risposte
Quanto al numero 1) ti basta applicare la definizione... $Au=1u$, ottieni un sistema di 3 equazioni in 3 incognite... devi solo risolverlo.
2) sai come opera la $f$...sostituire i valori del vettore $u_k$ e poni tutta l'immagine del vettore uguale a $0$, otterrai un sistema, risolvilo ed otterrai il valore di $k$.
2) sai come opera la $f$...sostituire i valori del vettore $u_k$ e poni tutta l'immagine del vettore uguale a $0$, otterrai un sistema, risolvilo ed otterrai il valore di $k$.
In questa formula $Au=1u$ l'1 rappresenta quindi l'autovalore?
per il secondo esercizio, dove devo sostituire i valori $u_k$? non ho ben capito come procedere!
Grazie!
per il secondo esercizio, dove devo sostituire i valori $u_k$? non ho ben capito come procedere!
Grazie!
sì, $1$ sarebbe $lambda$ da te indicato.
Se $u_k$ fosse una matrice $2x2$ composta da numeri reali l'immagine l'avresti calcolata come? Semplicemente sostituendo a $x,y,z,t$ dell'endomorfismo i rispettivi valori presenti in $u_k$. Devi fare esattamente la stessa cosa, sostituendo a $x$ $k^2$ a $y$ $-2$ e così via. Otterrai un'equazione in $k$, o meglio un sistema di equazioni. Sapendo che devono essere uguali a $0$, non devi far altro che risolvere quel semplice sistema!
Se $u_k$ fosse una matrice $2x2$ composta da numeri reali l'immagine l'avresti calcolata come? Semplicemente sostituendo a $x,y,z,t$ dell'endomorfismo i rispettivi valori presenti in $u_k$. Devi fare esattamente la stessa cosa, sostituendo a $x$ $k^2$ a $y$ $-2$ e così via. Otterrai un'equazione in $k$, o meglio un sistema di equazioni. Sapendo che devono essere uguali a $0$, non devi far altro che risolvere quel semplice sistema!
"mistake89":
sì, $1$ sarebbe $lambda$ da te indicato.
Se $u_k$ fosse una matrice $2x2$ composta da numeri reali l'immagine l'avresti calcolata come? Semplicemente sostituendo a $x,y,z,t$ dell'endomorfismo i rispettivi valori presenti in $u_k$. Devi fare esattamente la stessa cosa, sostituendo a $x$ $k^2$ a $y$ $-2$ e così via. Otterrai un'equazione in $k$, o meglio un sistema di equazioni. Sapendo che devono essere uguali a $0$, non devi far altro che risolvere quel semplice sistema!
Grazie mistake!
E se al secondo esercizio mi chiedesse di trovare i valori di quel parametro affinchè il vettore $u$ appartenga a $Im(f)$ come dovrei operare? 
la definizione mi dice che un vettore u appartiene all'immagine se $u=f(u)$
ma non capisco dove devo sostituire il vettore, mi date una manina?
grazie!
la definizione mi dice che un vettore u appartiene all'immagine se $u=f(u)$
ma non capisco dove devo sostituire il vettore, mi date una manina?
grazie!
proprio nessuno mi sa aiutare?
nessuno nessuno? 
Quanti up... 
Determina una base dell'immagine (sai farlo) ed imponi che il tuo vettore $u_k$ sia combinazione lineare di quei vettori di base!
Determina una base dell'immagine (sai farlo) ed imponi che il tuo vettore $u_k$ sia combinazione lineare di quei vettori di base!
In realtà, visto che hai determinato i valori per i quali $u_k$ appartiene al $ker$ puoi dire che per gli altri appartiene all'$Im$. L'immagine di un vettore che non sta nel $ker$ sta ovviamente l'$Im$.
Tra l'altro piccolo appunto... $f(u)=u$ è la definizione di funzione identica. Ma non è detto che la nostra $f$ sia proprio la funzione identica. $f(u)=u'$ sarebbe più corretto!
Tra l'altro piccolo appunto... $f(u)=u$ è la definizione di funzione identica. Ma non è detto che la nostra $f$ sia proprio la funzione identica. $f(u)=u'$ sarebbe più corretto!
si in effetti ero un po' disperata 
ho capito, adesso mi metto a ragionare su quello che hai scritto, speriamo bene!
ho capito, adesso mi metto a ragionare su quello che hai scritto, speriamo bene!
Quello che mi chiedo è:
Se la mia matrice associata dipende da un parametro (è questa):
$((k+1,0),(-1,-1),(0,k),(1,0))$
devo studiare prima l'immagine al variare di k?
(so di essere proprio scocciante
)
il vettore del quale devo determinare k affinchè appartenga a $im(f)$ è questo:
$u=((2,k),(-2,2-k))$
ti ringrazio "Infinitissimamente"!
Se la mia matrice associata dipende da un parametro (è questa):
$((k+1,0),(-1,-1),(0,k),(1,0))$
devo studiare prima l'immagine al variare di k?
(so di essere proprio scocciante
)il vettore del quale devo determinare k affinchè appartenga a $im(f)$ è questo:
$u=((2,k),(-2,2-k))$
ti ringrazio "Infinitissimamente"!
Ho provato a risolverlo, ma son cotto quindi ti consiglio di rivedere per bene la mia risoluzione.
Io farei così.
Affinchè il nostro vettore $u$ appartenga all'immagine della nostra $f$, deve esistere un vettore la cui immagine sia proprio $u$. Prendiamo perciò un generico vettore, ne consideriamo l'immagine e lo poniamo uguale proprio ad $u$. Otteniamo così il sistema $\{((k+1)x=2),(-x-y=k),(ky=-2),(x=2-k):}$ al variare di $kinRR$
A questo punto passiamo a studiarci i valori critici di $k$. Si tratta di capire quando questo può creare problemi. Se $k=-1$ otterremmo dalla prima una contraddizione, avremmo infatti $0=2$. Inoltre dalla terza possiamo osservare che $k!=0$. Ci assicuriamo anche che sia diverso da $2$, perchè arriveremmo sempre ad una contraddizione. A questo punto pongo nella prima equazione $x=2/(k+1)$ ed osservo che $x=2-k$ dalla (4). Se non ho sbagliato i calcoli, che ti invito a controllare, ottengo due valori, $k=0$ e $k=1$. $0$ è ovviamente da escludere, mentre per $k=1$ osservo che sono verificate tutte le condizioni, e pertanto è accettabile.
Spero che sia tutto chiaro e che non abbia detto stupidagini!
Io farei così.
Affinchè il nostro vettore $u$ appartenga all'immagine della nostra $f$, deve esistere un vettore la cui immagine sia proprio $u$. Prendiamo perciò un generico vettore, ne consideriamo l'immagine e lo poniamo uguale proprio ad $u$. Otteniamo così il sistema $\{((k+1)x=2),(-x-y=k),(ky=-2),(x=2-k):}$ al variare di $kinRR$
A questo punto passiamo a studiarci i valori critici di $k$. Si tratta di capire quando questo può creare problemi. Se $k=-1$ otterremmo dalla prima una contraddizione, avremmo infatti $0=2$. Inoltre dalla terza possiamo osservare che $k!=0$. Ci assicuriamo anche che sia diverso da $2$, perchè arriveremmo sempre ad una contraddizione. A questo punto pongo nella prima equazione $x=2/(k+1)$ ed osservo che $x=2-k$ dalla (4). Se non ho sbagliato i calcoli, che ti invito a controllare, ottengo due valori, $k=0$ e $k=1$. $0$ è ovviamente da escludere, mentre per $k=1$ osservo che sono verificate tutte le condizioni, e pertanto è accettabile.
Spero che sia tutto chiaro e che non abbia detto stupidagini!
mistake, ti adoro eheh ho capito bene il procedimento, se è cosi allora è molto semplice, grazie!
@Fiore di Loto: Ti è andata bene, nonstante tu abbia fatto parecchi "up" ravvicinati non se ne è accorto nessun moderatore. Vabbé, ormai è passata ma sappi che questo comportamento non è tollerato. Guarda qua, per esempio.
"dissonance":
@Fiore di Loto: Ti è andata bene, nonstante tu abbia fatto parecchi "up" ravvicinati non se ne è accorto nessun moderatore. Vabbé, ormai è passata ma sappi che questo comportamento non è tollerato. Guarda qua, per esempio.
scusami, non lo sapevo
eheh ti ringrazio ma non esagerare
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