Esercizi calcolo determinante e formula di grassman
Salve,
ho problemi ha risolvere due esercizi diversi tra loro,uno riguarda il calcolo di un determinante:
Se A=(v_1,v_2,v_3) appartenenente allo spazio delle matrici tre per tre a coefficienti complessi,det(A) diverso da zero e $B=((1+i)v_1- v_3,2v_2 + iv_3,v_1 -iv_2+3v_3)$,quanto vale det(B)/det(A)?
In questo caso ho semplicemente provato a scambiare le colonne della matrice b,per poi raccogliere v1,v2,v3 e moltiplicare dunque il det per i loro coefficienti anch'essi moltiplicati tra loro.Tuttavia il risultato non torna.
Il secondo esercizio riguarda invece la formula di grassman:
Se $X=(x appartenenti a R alla 2n : x_1=3x_n)$,$Y,Z contenuti in X$,$dim(Y)=n$,$Y+Z=X$che dimensione può avere Z?
la soluzione è:tra $2n - 1 $ e $n-1$. Sono d'accordo sull'ultimo valore che si ottiene nel caso in cui l'i ntersezione tra Y e Z si l'insieme vuoto,ma non capisco come possa venire anche 2n-1.
So che entrambi i quesiti sono semplici,ma non riesco proprio a trovare la soluzione.
Grazie mille a tutti quelli che risponderanno,perchè tra pochi giorni ho l'esame di algebra!
ho problemi ha risolvere due esercizi diversi tra loro,uno riguarda il calcolo di un determinante:
Se A=(v_1,v_2,v_3) appartenenente allo spazio delle matrici tre per tre a coefficienti complessi,det(A) diverso da zero e $B=((1+i)v_1- v_3,2v_2 + iv_3,v_1 -iv_2+3v_3)$,quanto vale det(B)/det(A)?
In questo caso ho semplicemente provato a scambiare le colonne della matrice b,per poi raccogliere v1,v2,v3 e moltiplicare dunque il det per i loro coefficienti anch'essi moltiplicati tra loro.Tuttavia il risultato non torna.
Il secondo esercizio riguarda invece la formula di grassman:
Se $X=(x appartenenti a R alla 2n : x_1=3x_n)$,$Y,Z contenuti in X$,$dim(Y)=n$,$Y+Z=X$che dimensione può avere Z?
la soluzione è:tra $2n - 1 $ e $n-1$. Sono d'accordo sull'ultimo valore che si ottiene nel caso in cui l'i ntersezione tra Y e Z si l'insieme vuoto,ma non capisco come possa venire anche 2n-1.
So che entrambi i quesiti sono semplici,ma non riesco proprio a trovare la soluzione.
Grazie mille a tutti quelli che risponderanno,perchè tra pochi giorni ho l'esame di algebra!
Risposte
Ciao erikadavini benvenuta nel forum.
Innanzitutto ti invito, per le prossime volte, ad usare nel modo giusto le formule in modo che i tuoi post siano più leggibili (istruzioni qui).
A proposito del primo esercizio, ti dò un suggerimento: credo che dovresti usare due proprietà fondamentali del determinante, ovvero il fatto che il determinante è multilineare sulle righe (e sulle colonne) e alternante per scambio di righe (e colonne).
Per il secondo esercizio, vorrei chiederti di confermarmi la traccia:
" Se $X=\{ x\in RR^{2n}: x_1=3x_n\}$, $Y,Z$ sottospazi di $X$ con $dim(Y)=n$ tali che $Y+Z=X$. Che dimensione può avere $Z$? "
E' questa la traccia?
Innanzitutto ti invito, per le prossime volte, ad usare nel modo giusto le formule in modo che i tuoi post siano più leggibili (istruzioni qui).
A proposito del primo esercizio, ti dò un suggerimento: credo che dovresti usare due proprietà fondamentali del determinante, ovvero il fatto che il determinante è multilineare sulle righe (e sulle colonne) e alternante per scambio di righe (e colonne).
Per il secondo esercizio, vorrei chiederti di confermarmi la traccia:
" Se $X=\{ x\in RR^{2n}: x_1=3x_n\}$, $Y,Z$ sottospazi di $X$ con $dim(Y)=n$ tali che $Y+Z=X$. Che dimensione può avere $Z$? "
E' questa la traccia?
Innanzitutto mi scuso per il modo in cui ho scritto le formule,devo fare ancora un pò di pratica.
Riguardo al primo esercizio ho sfruttato la seconda proprietà che mi hai detto,ma non la prima,perchè non so bene come applicarla,mi potresti spiegare meglio?
Riguardo al secondo,ti confermo la traccia
Riguardo al primo esercizio ho sfruttato la seconda proprietà che mi hai detto,ma non la prima,perchè non so bene come applicarla,mi potresti spiegare meglio?
Riguardo al secondo,ti confermo la traccia
Ti faccio il primo passaggio. Poi prosegui tu:
[tex]\det B=\det\left((1+i)v_1- v_3,2v_2 + iv_3,v_1 -iv_2+3v_3\right)=[/tex]
[tex]=(1+i)\det\left(v_1,2v_2 + iv_3,v_1 -iv_2+3v_3\right)-\det\left(v_3,2v_2 + iv_3,v_1 -iv_2+3v_3\right)=[/tex]
[tex]=....[/tex]
E così via. Tieni conto che una matrice con due righe (o colonne) uguali ha determinante nullo.
Per il secondo rispondi alle seguenti domande:
1) Che dimensione ha $X=Y+Z$?
2) Che dimensione può avere $Y\cap Z$ (che è contenuto in $Y$)? N.B. L'intersezione non può essere l'insieme vuoto, almeno lo zero deve esserci.
Dopo aver risposto alle domande precedenti usa la formula di Grassmann e hai finito.
[tex]\det B=\det\left((1+i)v_1- v_3,2v_2 + iv_3,v_1 -iv_2+3v_3\right)=[/tex]
[tex]=(1+i)\det\left(v_1,2v_2 + iv_3,v_1 -iv_2+3v_3\right)-\det\left(v_3,2v_2 + iv_3,v_1 -iv_2+3v_3\right)=[/tex]
[tex]=....[/tex]
E così via. Tieni conto che una matrice con due righe (o colonne) uguali ha determinante nullo.
Per il secondo rispondi alle seguenti domande:
1) Che dimensione ha $X=Y+Z$?
2) Che dimensione può avere $Y\cap Z$ (che è contenuto in $Y$)? N.B. L'intersezione non può essere l'insieme vuoto, almeno lo zero deve esserci.
Dopo aver risposto alle domande precedenti usa la formula di Grassmann e hai finito.
Più o meno penso di aver capito..per il primo esercizio in pratica dovrei continuare a "separare" le somme giusto?
Riguardo al secondo ci dovrei essere..
Riguardo al secondo ci dovrei essere..
Per cortesia, togli la dicitura "Urgente" dal titolo del topic.
Grazie.
Grazie.
Esatto. "Separa" le somme, "tira fuori" i coefficienti e ricordati che se scambi due righe (o colonne) il determinante cambia segno. Alla fine ottieni
[tex]\det B=(\textrm{un coefficiente complesso})\cdot\det A[/tex]
da cui puoi ricavarti facilmente [tex]\displaystyle \frac{\det B}{\det A}[/tex]
Riguardo al secondo, sono contento di averti aiutato. Naturalmente nel caso tu abbia bisogno di una conferma e se ti va, puoi postare qui la tua risoluzione.
Ciao!
[tex]\det B=(\textrm{un coefficiente complesso})\cdot\det A[/tex]
da cui puoi ricavarti facilmente [tex]\displaystyle \frac{\det B}{\det A}[/tex]
Riguardo al secondo, sono contento di averti aiutato. Naturalmente nel caso tu abbia bisogno di una conferma e se ti va, puoi postare qui la tua risoluzione.
Ciao!
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