Esercizi applicazioni lineari
Ciao ragazzi sono alle prese con i primi esercizi di algebra lineare e ho trovato subito difficoltà. Li riporto:
1)Stabilire se esistono applicazioni lineari da R2 a R4 tali che:
L(1,2)=(0,0,1,0) L(3,0)=(2,0,1,0) L(2,1)=(1,1,0,1)
2)si consideri l'applicazione lineare f: R3->R3 tale che:
L(e2)=e3 L(e2+e3)=3e1 L(e1+e3)=e2
Ove C={e1,e2,e3} indica la base canonica di R3. Determinare una base di Im(3L)
Grazie in anticipo
1)Stabilire se esistono applicazioni lineari da R2 a R4 tali che:
L(1,2)=(0,0,1,0) L(3,0)=(2,0,1,0) L(2,1)=(1,1,0,1)
2)si consideri l'applicazione lineare f: R3->R3 tale che:
L(e2)=e3 L(e2+e3)=3e1 L(e1+e3)=e2
Ove C={e1,e2,e3} indica la base canonica di R3. Determinare una base di Im(3L)
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao e benvenuto nel forum.
1) Nota che $(0,0)=(1,2)-2(2,1)+(3,0)$. Questi vettori sono linearmente dipendenti come vedi. controlla la coerenza della tua applicazione sfruttando la linearità dell'applicazione lineare.
2)Scrivi la matrice associata rispetto alla base canonica. Il rango $r$ coincide con la dimensione dell'immagine. Dopodiché, estrai $r$ vettori lin. indipendenti da tale matrice
1) Nota che $(0,0)=(1,2)-2(2,1)+(3,0)$. Questi vettori sono linearmente dipendenti come vedi. controlla la coerenza della tua applicazione sfruttando la linearità dell'applicazione lineare.
2)Scrivi la matrice associata rispetto alla base canonica. Il rango $r$ coincide con la dimensione dell'immagine. Dopodiché, estrai $r$ vettori lin. indipendenti da tale matrice
Ho capito il primo. Sul secondo: come estraggo i vettori dalla matrice?
devi scegliere quelli linearmente indipendenti disposti per colonne della matrice associata all'applicazione lineare rispetto alla base canonica
Un ultimo dubbio su esercizi tipo il primo: che differenza c'è nello stabilire l'esistenza dell'applicazione lineare se i vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti? Sia per quanto riguarda i vettori dati che i vettori immagine rispetto all'applicazione.grazie!
Su questo fatto dovresti aver visto e dimostrato un teorema di esistenza e unicità.
Quando ho scritto "controlla la coerenza della tua applicazione", intendevo dire: controlla che la linearità della funzione sia rispettata.
Ossia, se hai che$ (0,0)=(1,2)-2(2,1)+(3,0) $: è vero che $ 2L(2,1)=L(1,2)+L(3,0) $ ?
Ricorda anche che però $L(2,1)=(1,1,0,1)$.
In parole povere, se non sono linearmente indipendenti:
-si individua un vettore linearmente indipendente.
-lo scriviamo come combinazione lineare degli altri vettori
-Calcoliamo l'immagine grazie a tale combinazione
Ora ci sono due possibilità:
1. L'immagine calcolata è diversa. Conclusione: non può esistere un'applicazione lineare siffatta.
2.L'immagine coincide con quella assegnata: abbiamo un informazione in più, e possiamo cancellare dai dati l'immagine di tale vettore. In pratica l'applicazione esiste, ma non è unica. Infatti, potremmo definire noi l'immagine di un vettore linearmente indipendente con gli altri (completare una base) per ottenere un'altra applicazione lineare.
Quando ho scritto "controlla la coerenza della tua applicazione", intendevo dire: controlla che la linearità della funzione sia rispettata.
Ossia, se hai che$ (0,0)=(1,2)-2(2,1)+(3,0) $: è vero che $ 2L(2,1)=L(1,2)+L(3,0) $ ?
Ricorda anche che però $L(2,1)=(1,1,0,1)$.
In parole povere, se non sono linearmente indipendenti:
-si individua un vettore linearmente indipendente.
-lo scriviamo come combinazione lineare degli altri vettori
-Calcoliamo l'immagine grazie a tale combinazione
Ora ci sono due possibilità:
1. L'immagine calcolata è diversa. Conclusione: non può esistere un'applicazione lineare siffatta.
2.L'immagine coincide con quella assegnata: abbiamo un informazione in più, e possiamo cancellare dai dati l'immagine di tale vettore. In pratica l'applicazione esiste, ma non è unica. Infatti, potremmo definire noi l'immagine di un vettore linearmente indipendente con gli altri (completare una base) per ottenere un'altra applicazione lineare.
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