Esercizi applicazione lineare: svolto correttamente?
Posto una mia risoluzione, Per vedere se ho capito..
Sia $F: R^4->R^2$
l’applicazione lineare tale che $f(a,b,c,d) = (a+b-c, a+c-d)$ per ogni elemento di $(a,b,c,d)$ di $R$
La mia matrice associata è:
$((1,1,-1,0),(1,0,1,-1))$
La riduco a scalini, e avrò che $Rango = 2$.
Questo significa che $dimImmF= 2$ --> Applicazione lineare è suriettiva.
$KerF= 2$ --> NON è iniettiva.
Per avere una base di KERF mi basta porre le righe linearmente indipendenti =0.
Impostando questo istema ho che ad esempio (0,1,1,1) è una base di KERF.
Ma quando mi chiede una base di $ImmF$, a me esce
$(1,1),(1,0)$, poichè sono, secondo me, le colonne della matrice iniziale che sono linearmente INDIPENDENTI.
E' il ragionamento giusto?
Grazie Mille!
Sia $F: R^4->R^2$
l’applicazione lineare tale che $f(a,b,c,d) = (a+b-c, a+c-d)$ per ogni elemento di $(a,b,c,d)$ di $R$
La mia matrice associata è:
$((1,1,-1,0),(1,0,1,-1))$
La riduco a scalini, e avrò che $Rango = 2$.
Questo significa che $dimImmF= 2$ --> Applicazione lineare è suriettiva.
$KerF= 2$ --> NON è iniettiva.
Per avere una base di KERF mi basta porre le righe linearmente indipendenti =0.
Impostando questo istema ho che ad esempio (0,1,1,1) è una base di KERF.
Ma quando mi chiede una base di $ImmF$, a me esce
$(1,1),(1,0)$, poichè sono, secondo me, le colonne della matrice iniziale che sono linearmente INDIPENDENTI.
E' il ragionamento giusto?
Grazie Mille!
Risposte
"Karozzi":
La mia matrice associata è:
$((1,1,-1,0),(1,0,1,-1))$
Bene.
"Karozzi":
La riduco a scalini, e avrò che $Rango = 2$.
Questo significa che $dim Im F= 2$ --> Applicazione lineare è suriettiva.
$KerF= 2$ --> NON è iniettiva.
Per avere una base di KERF mi basta porre le righe linearmente indipendenti =0.
Ottimo.
"Karozzi":
Impostando questo sistema ho che ad esempio (0,1,1,1) è una base di KERF.
$ \dim $ $ \ker $ $ f = 2 $, quindi ti servono due vettori.
Risolvendo il sistema lineare omogeneo che definisce il nucleo di $ F $, ottieni
$ \ker $ $ F = \{ (a, b, a+b, 2a+b) \in \mathbb{R}^4 : a,b \in \mathbb{R} \} $
Ora scrivi una base di $ \ker $ $ F $.
"Karozzi":
Ma quando mi chiede una base di $Im F$, a me esce
$(1,1),(1,0)$, poichè sono, secondo me, le colonne della matrice iniziale che sono linearmente INDIPENDENTI.
E' il ragionamento giusto?
Grazie Mille!
La base è corretta, ma in realtà è sufficiente prendere qualunque coppia di vettori tra i quattro forniti dalla matrice associata.
Grazie mille per questa tua ultimissima frase, era quello che non riuscivo a capire!
Se mi chiede "una base" di $Im F$, in realtà devo prendere $x$ vettori, tra quelli che ho nella matrice.. dove $x= dimImF$.
E' giusto?
Grazie per la risposta =)
Se mi chiede "una base" di $Im F$, in realtà devo prendere $x$ vettori, tra quelli che ho nella matrice.. dove $x= dimImF$.
E' giusto?
Grazie per la risposta =)
E ovviamente, questi devono essere linearmente indipendenti!
Esatto: $ x $ colonne linearmente indipendenti.
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