Esercizi applicazione lineare e endomorfismo
Salve gli esercizi in questione sono
1)
$T : R^3 → R^3$
$T(a, b, c) = (0, a + 3b − 2c, 2a + 6b − 4c)$
a) calcolare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica
b) Stabilire se la funzione T `e iniettiva e/o suriettiva.
c) Determinare gli autovalori di A e dire se A `e diagonalizzabile; in caso affermativo trovare una
matrice diagonalizzante A
2)
Si considerino gli endomorfismi fs di R
3 definiti, rispetto alla base canonica, dalle
matrici
$As =((1, 1, −s),
(s ,−s ,s),
(2, s ,−4))$
al variare di s ∈ R.
a) Esiste qualche $f_s$ suriettiva? Per quali valori di s?
b) Per s = −5 si scriva una base di Im(f−5) e una di ker(f−5).
c) $A_0$ `e diagonalizzabile? In caso affermativo si determini una base di $R^3$costituita da autovettoridi $A_0$.
d) Esiste qualche fs per cui (5, 5, 0) ∈ ker($f_s$)? Per quali valori di s?
mi servirebbe una spiegazione su come risolvere questi esercizi(magari con esempi)
1)
$T : R^3 → R^3$
$T(a, b, c) = (0, a + 3b − 2c, 2a + 6b − 4c)$
a) calcolare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica
b) Stabilire se la funzione T `e iniettiva e/o suriettiva.
c) Determinare gli autovalori di A e dire se A `e diagonalizzabile; in caso affermativo trovare una
matrice diagonalizzante A
2)
Si considerino gli endomorfismi fs di R
3 definiti, rispetto alla base canonica, dalle
matrici
$As =((1, 1, −s),
(s ,−s ,s),
(2, s ,−4))$
al variare di s ∈ R.
a) Esiste qualche $f_s$ suriettiva? Per quali valori di s?
b) Per s = −5 si scriva una base di Im(f−5) e una di ker(f−5).
c) $A_0$ `e diagonalizzabile? In caso affermativo si determini una base di $R^3$costituita da autovettoridi $A_0$.
d) Esiste qualche fs per cui (5, 5, 0) ∈ ker($f_s$)? Per quali valori di s?
mi servirebbe una spiegazione su come risolvere questi esercizi(magari con esempi)
Risposte
Magari invece potresti fornire un tuo tentativo, visto che queste sono le regole del forum...
Sono sicuro che ci hai provato, prova a scrivere qua e vediamo cosa non va
Sono sicuro che ci hai provato, prova a scrivere qua e vediamo cosa non va
allora: la matrice associata a T è(se non erro)
$((0,0,0),(1,3,2),(2,6,4))$
risolvendola trovo rango=1 e che
$((1,3,2),(0,0,0),(0,0,0))$ mi porta al sistema ${(a+3b-2c=0),(b=0),(c=0):}$ dalla quale ker = vettore nullo
questo dovrebbe dimostrare l'iniettività
adesso prendo la matrce dell'immagine
$((0,1,2),(0,3,6),(0,-2,-4))$
che mi porta a
$((0,1,2),(0,0,0),(0,0,0))$
rango im=1=rango T, suriettiva
per gli autovalori calcolo il determinante della matrice
$((0,0,0),(1,3-lambda,2),(2,6,4-lambda))$
(per gli autovettori dopo aver trovato i valori di lambda, li sostituisco alla matrice e risolvo i sistemi associati alle matrici?)
adesso mi chiede se è diagonalizzabile e qui sono bloccato
$((0,0,0),(1,3,2),(2,6,4))$
risolvendola trovo rango=1 e che
$((1,3,2),(0,0,0),(0,0,0))$ mi porta al sistema ${(a+3b-2c=0),(b=0),(c=0):}$ dalla quale ker = vettore nullo
questo dovrebbe dimostrare l'iniettività
adesso prendo la matrce dell'immagine
$((0,1,2),(0,3,6),(0,-2,-4))$
che mi porta a
$((0,1,2),(0,0,0),(0,0,0))$
rango im=1=rango T, suriettiva
per gli autovalori calcolo il determinante della matrice
$((0,0,0),(1,3-lambda,2),(2,6,4-lambda))$
(per gli autovettori dopo aver trovato i valori di lambda, li sostituisco alla matrice e risolvo i sistemi associati alle matrici?)
adesso mi chiede se è diagonalizzabile e qui sono bloccato
La suriettività non può essere verificata, lo dovresti vedere dal fatto che la dimensione dello spazio di arrivo sia $3$ e quella dell'immagine invece $1$. Quello che hai dimostrato tu è che la dimensione dell'immagine è uguale alla dimensione dell'immagine.
Per la diagonalizzabilità, la teoria cosa ti dice? Perché non provi a calcolare il polinomio caratteristico? La diagonalizzabilità si può verificare senza far ricorso agli autovalori.
Per la diagonalizzabilità, la teoria cosa ti dice? Perché non provi a calcolare il polinomio caratteristico? La diagonalizzabilità si può verificare senza far ricorso agli autovalori.
da questa matrice posso notare che il det=0, quindi no ho un polinomio
ripassando un po ho capito che per vedere se è diagonalizzabile devo calcolare la molteplicità algebrica degli autovalori e verificare che sia uguale alla loro molteplicità geometrica(che è data dallo spazio che si considera, ad esempio $R^3$ è 3, meno la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore)
per calcolare la matrice diagonalizzata mi basta mettere gli autovalori in diagonale su una matrice con tutti gli altri elementi nulli.
correggimi se ho sbagliato
ripassando un po ho capito che per vedere se è diagonalizzabile devo calcolare la molteplicità algebrica degli autovalori e verificare che sia uguale alla loro molteplicità geometrica(che è data dallo spazio che si considera, ad esempio $R^3$ è 3, meno la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore)
per calcolare la matrice diagonalizzata mi basta mettere gli autovalori in diagonale su una matrice con tutti gli altri elementi nulli.
correggimi se ho sbagliato
Fin qui ci siamo abbastanza, molteplicità geometrica (che è la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore) e molteplicità algebrica devono essere uguali. Hai però sbagliato a scrivere la matrice $A-lambdaI$. Nel posto $a_(1,1)$ infatti, hai $0-lambda$ e non $0$ soltanto. Adesso hai un polinomio, prova a procedere da solo
hai ragione, non so il perchè ma nella mia testa li c'era una moltiplicazione
calcolando il det ho $lambda=0$ $m_a =2$ e $lambda=7$ $m_a =1$
la matrice associata a $lambda=7$ è
$((-7,0,0),(1,-4,2),(2,6,-3))$ che ha rg=2 $m_g(7)=dimR^3-rg=1$
la matrice associata a $lambda=0$ è
$((0,0,0),(1,3,2),(2,6,4))$ che ha rg=1 $m_g(0)=dimR^3-rg=2$
e quindi è diagonalizzabile
$((7,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
la matrice associata a $lambda=7$ è
$((-7,0,0),(1,-4,2),(2,6,-3))$ che ha rg=2 $m_g(7)=dimR^3-rg=1$
la matrice associata a $lambda=0$ è
$((0,0,0),(1,3,2),(2,6,4))$ che ha rg=1 $m_g(0)=dimR^3-rg=2$
e quindi è diagonalizzabile
$((7,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
Se i calcoli sul polinomio caratteristico sono corretti, il procedimento scritto qui è giusto. Per calcolare gli autovettori, basta risolvere il sistema omogeneo composto da ciascuna matrice associata all'autospazio.
l'autovettore di $lambda=7$ e (0,1,2) mentre dell'altro è il vettore nullo?
Ti ringrazio per avermi seguito durante lo svolgimento.
Ti ringrazio per avermi seguito durante lo svolgimento.
Dell'altro è il vettore che soddisfa la condizione $x+3y+2z=0$, visto che poi la riga seguente è multipla di questa. Significa che, dati due parametri $y=r,z=t$ avrai $x=-3y-2z=-3r-2t$ e quindi i due vettori (uno con $r=1,t=0$ e l'altro viceversa) sono $(-3,1,0)$ e $(-2,0,1)$.
Figurati, serve anche a me come ripassone!
Figurati, serve anche a me come ripassone!
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