Esercizi algebra lineare

[antony_88]

ciao tutti
vi posto questi esercizi che sono usciti in alcune prove d'esame e che non riesco a risolvere spero che mi possiate dare una "delucidazione"
dato che tra poco devo sostenere anch'io quest esame

1)Scrivere, se esiste, un sistema di generatori dello spazio vettoriale V che contenga il sistema di
vettori S nei seguenti casi:
• V = R3 , S = {(0, 0, 0)}
• V = R2 , S = {(1, 2), (−1,−2), (2, 4)}
• V = R3 , S = {(1, 0, 0), (2, 0, 1)}
2)Sia f : R3 --> R3 un’applicazione lineare. Sapendo che f(1, 0, 1) = (2, 1, 0) e f(1, 0,−1) =
(1, 2,−1),e possibile calcolare
• f( (2, 0, 0) )? Si No Perch´e?
• f(0, 1, 0)? Si No Perch´e?
3)Esistono spazi vettoriali che contengono esattamente tre vettori?
4)Nello spazio vettoriale R5 , esistono due sottospazi di dimensione 3 la cui somma sia diretta?
5)Esistono sottospazi di R2 aventi dimensione 2 e non contenenti (0, √ 5)?

[_Tipper]

1) Devi vedere se $S$ è un insieme indipendente, se sì, allora esiste un sistema di generatori di $V$ che contiene i vettori di $S$.

2) Vale $(2, 0, 0) = (1, 0, 1) + (1, 0, -1)$, quindi per linearità... I vettori $(1, 0, 1)$, $(1, 0, -1)$ e $(0, 1, 0)$ sono linearmente indipendenti, quindi...

3) $\mathbb{Z}_2$, dotato delle usuali operazioni di somma e moltiplicazione modulare, visto come spazio vettoriale su se stesso...

4) Pensa alla relazione di Grassman.

5) Pensa a chi sono i sottospazi di $\mathbb{R}^2$ di dimensione due...

[Studente Anonimo]

"Tipper":3) $\mathbb{Z}_2$, dotato delle usuali operazioni di somma e moltiplicazione modulare, visto come spazio vettoriale su se stesso...

Direi più $ZZ_3$

[_Tipper]

È beh...

[antony_88]

per quanto riguarda il primo esercizio un sistema di generatori deve essere per forza indipendente?
ad esempio S={(1,0)(0,1)(2,-1)} è un sistema di generatori ma i vettori sono dipendenti.applicando la tua definizione
solo l'ultimo sistema
• V = R3 , S = {(0, 0, 0)}
• V = R2 , S = {(1, 2), (−1,−2), (2, 4)}
• V = R3 , S = {(1, 0, 0), (2, 0, 1)}
può essere contenuto in un sistema di generatori?
(PS puoi essere più chiaro )
cmq grazie per l'aiuto

[_Tipper]

Scusami, non avevo letto attentamente l'esercizio. Quello che ti ho detto io vale se ti avesse chiesto una base, ma se ti chiede semplicemente un sistema di generatori, non è detto che questo sia indipendente. In tal caso un sistema di generatori di $V$ contenente gli elementi di $S$ esiste se $S \subseteq V$.

[antony_88]

grazie mille
per quanto riguarda l'esercizio 5 quindi non esistono sottospazi di dimensione 2 perchè se dimH=dimR2 significa che
H e R2 sono uguali giusto?
però quello che non ho capito solo la suluzione del 2 e del 3
perchè altre volte fa la stessa domanda :esistono spazi vettoriali contenete esattamente due vettori?
la parte sulle sulle classi resto e stata trattata nel corso di algebra quindi non penso che sia questa la risposta che voglia

[_Tipper]

Per il 5) ok. Per il 2), dato che la $f$ è lineare, puoi osservare che $f(2, 0, 0) = f(1, 0, 1) + f(1, 0, -1)$, ma $f(1, 0, -1)$ e $f(1, 0, 1)$ sono noti, quindi puoi determinare $f(2, 0, 0)$. Non puoi determinare $f(0, 1, 0)$ con le informazioni che hai perché non puoi esprimere $(0, 1, 0)$ come combinazione lineare di $(1, 0, 1)$ e $(1, 0, -1)$.
Per il 3), se non è questa la risposta che vuole, sinceramente non saprei...