Esercizi algebra lineare
Salve ragazzi, oggi ho fatto il compito di geometria.. Vorrei sapere se la risoluzione dei miei esercizi è giusta..
1 esercizio
Nello spazio vettoriale reale $ R^4 $, riferito rispetto alla base canonica, sono dati i seguenti sottospazi:
$ U={u=(x,y,2x,x-y):x,yin R $
$ V={v=(z,z+t,2z,t):z,tin R} $
Determinare che dim U=dim V=2
determinare i sottospazi $ Unn V $ e $ U+ V $
La dimensione di un sottospazio vettoriale è il numero di vettori contenuto in una base. In questo caso i vettori della base formano il sottospazio.Quindi il vettore generico $ (x,y,2x,x-y) $ può scriversi come $ x(1,0,2,1)+y(0,1,0,-1) $. Tali vettori costutiiscono una base di U e da ciò dim U=2.
Stesso discorso col sottospzio V. Trovo che la base di V è $ B_V={(1,1,2,0),(0,1,0,1) $
Da ciò dim U=dim V=2
Siccome i vettori delle due basi sono tutti diversi il sottospazio $ Unn V={0} $ (insieme vuoto). Quindi la somma è diretta e $ U+V={(1,0,2,1),(0,1,0,-1),(1,1,2,0),(0,1,0,1)} $
II esercizio.
Determinare il centro e il raggio della circonferenza di equazioni :
$ { ( x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z=0 ),( x-3y+z=0 ):} $
Ho trovato il centro e il raggio della sfera (prima delle due equazioni) scrivendola $ (x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=14 $
$ C=(2,-3,1) $
$ r=sqrt(14) $
ho trovato il centro della circonferenza dall'intersezione tra il piano e la retta passante per C e perpendicolare al piano stesso.
Retta r passante per C e perpendicolare al piano:
$ r:{ ( x=2+t ),( y=-3-3t ),( z=1+t ):} $ essendo i parametri direttori del piano uguali a quelli di una retta perpendicolare.
In forma cartesiana la retta $ r:{ (x-z-1=0 ),( y+3z=0 ):} $ . Metto quindi a sistema tali 2 piani che formano la retta col piano originario trovando come punto di intersezione $ C_C(10/11, 3/11,-1/11) $
Il raggio della circonfernza l'ho trovato come distanza punto-centro. Il punto è (0,0,0) e visto che soddisfa sia l'equazione della sfera e quella del piano è un punto della circonferenza. $ d(P,C_c)=sqrt((10/11)^2+(3/11)^2+(-1/11)^2)=sqrt(110/121) $
III Problema
Si consideri il fascio di coniche di equazione
$ (1+lambda )x^2-(1+lambda )xy-2(1+lambda)y^2+(1-2lambda)x+(1+4lambda)y=0 $
scegliendo 4 diversi $ lambda $ ho trovato 4 coniche del fascio e mettendole a sistema ho trovato due punti doppi: $ (0,0) e (1,1) $
La risoluzione degli esercizi è giusta? Grazie delle risposte
1 esercizio
Nello spazio vettoriale reale $ R^4 $, riferito rispetto alla base canonica, sono dati i seguenti sottospazi:
$ U={u=(x,y,2x,x-y):x,yin R $
$ V={v=(z,z+t,2z,t):z,tin R} $
Determinare che dim U=dim V=2
determinare i sottospazi $ Unn V $ e $ U+ V $
La dimensione di un sottospazio vettoriale è il numero di vettori contenuto in una base. In questo caso i vettori della base formano il sottospazio.Quindi il vettore generico $ (x,y,2x,x-y) $ può scriversi come $ x(1,0,2,1)+y(0,1,0,-1) $. Tali vettori costutiiscono una base di U e da ciò dim U=2.
Stesso discorso col sottospzio V. Trovo che la base di V è $ B_V={(1,1,2,0),(0,1,0,1) $
Da ciò dim U=dim V=2
Siccome i vettori delle due basi sono tutti diversi il sottospazio $ Unn V={0} $ (insieme vuoto). Quindi la somma è diretta e $ U+V={(1,0,2,1),(0,1,0,-1),(1,1,2,0),(0,1,0,1)} $
II esercizio.
Determinare il centro e il raggio della circonferenza di equazioni :
$ { ( x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z=0 ),( x-3y+z=0 ):} $
Ho trovato il centro e il raggio della sfera (prima delle due equazioni) scrivendola $ (x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=14 $
$ C=(2,-3,1) $
$ r=sqrt(14) $
ho trovato il centro della circonferenza dall'intersezione tra il piano e la retta passante per C e perpendicolare al piano stesso.
Retta r passante per C e perpendicolare al piano:
$ r:{ ( x=2+t ),( y=-3-3t ),( z=1+t ):} $ essendo i parametri direttori del piano uguali a quelli di una retta perpendicolare.
In forma cartesiana la retta $ r:{ (x-z-1=0 ),( y+3z=0 ):} $ . Metto quindi a sistema tali 2 piani che formano la retta col piano originario trovando come punto di intersezione $ C_C(10/11, 3/11,-1/11) $
Il raggio della circonfernza l'ho trovato come distanza punto-centro. Il punto è (0,0,0) e visto che soddisfa sia l'equazione della sfera e quella del piano è un punto della circonferenza. $ d(P,C_c)=sqrt((10/11)^2+(3/11)^2+(-1/11)^2)=sqrt(110/121) $
III Problema
Si consideri il fascio di coniche di equazione
$ (1+lambda )x^2-(1+lambda )xy-2(1+lambda)y^2+(1-2lambda)x+(1+4lambda)y=0 $
scegliendo 4 diversi $ lambda $ ho trovato 4 coniche del fascio e mettendole a sistema ho trovato due punti doppi: $ (0,0) e (1,1) $
La risoluzione degli esercizi è giusta? Grazie delle risposte
Risposte
"vich":
Siccome i vettori delle due basi sono tutti diversi il sottospazio $ Unn V={0} $ (insieme vuoto). Quindi la somma è diretta e $ U+V={(1,0,2,1),(0,1,0,-1),(1,1,2,0),(0,1,0,1)} $
I vettori possono essere diversi, ma non linearmente indipendenti.
cioè devono essere tutti linearmente dipendenti?
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