Esercizi algebra
Ciao,
ho alcuni problemi con esercizi su basi, dimensione e generatori. Ve ne posto alcuni e non vi chiedo di risolverli tutti perchè capisco che potrbbe non essere il massimo
Però se riusciste a darmi un'idea su come risolverli ve ne sarei molto grato!!
1) Si trovi, se possibile, un vettore $w$ in modo che non appartenga al sottospazio generato da $v1=(6x^2-6x)$, $v2=(6)$ e l'insieme composto da v1, v2 e w non generi $R_2 [x]$.
2) Si determinino, se possibile, 4 vettori non nulli di $R_2 [x]$. Si trovino, se possibile, due sottospazi distinti di $R_2 [x]$ di dimensione 2 che contengano entrambi il vettore $x^2+x$.
3) Sia $X={((a,b),(-b,a))}$ con $a$ e $b$ appartenenti a $R$. Si dimostri che X è un sottospazio di $M_2(R)$ e se ne determini la dimensione.
4) Sia $X={(x, y, z) | x-y+z=0 e x-2y=0}$. Si dimostri che X è un sottospazio di $R^3$ e se ne determini una base.
Grazieeeee
ho alcuni problemi con esercizi su basi, dimensione e generatori. Ve ne posto alcuni e non vi chiedo di risolverli tutti perchè capisco che potrbbe non essere il massimo
Però se riusciste a darmi un'idea su come risolverli ve ne sarei molto grato!!
1) Si trovi, se possibile, un vettore $w$ in modo che non appartenga al sottospazio generato da $v1=(6x^2-6x)$, $v2=(6)$ e l'insieme composto da v1, v2 e w non generi $R_2 [x]$.
2) Si determinino, se possibile, 4 vettori non nulli di $R_2 [x]$. Si trovino, se possibile, due sottospazi distinti di $R_2 [x]$ di dimensione 2 che contengano entrambi il vettore $x^2+x$.
3) Sia $X={((a,b),(-b,a))}$ con $a$ e $b$ appartenenti a $R$. Si dimostri che X è un sottospazio di $M_2(R)$ e se ne determini la dimensione.
4) Sia $X={(x, y, z) | x-y+z=0 e x-2y=0}$. Si dimostri che X è un sottospazio di $R^3$ e se ne determini una base.
Grazieeeee
Risposte
1) è impossibile. Pensaci. Ci vogliono 3 vettori lin. indip. per formare una base di $R_2[x]$ e $v_1$ e $v_2$ sono l.i.
Se il vettore $w$ non deve essere comb. lineare di $v_1$ e $v_2$ allora è l.i. e messi assieme formerebbero una base $R_2[x]$
2) devi provarci da solo...è davvero banalissimo
3) dimostra che è un sottospazio vettoriale...almeno provaci. Consiglio: è il sottospazio formato dalle matrici antisimmetriche.
4) è l'intersezione di due piani chiaramente non paralleli (perchè?) e passanti per l'origine, quindi si intersecano in una retta passante per l'origine. Puoi trovare una base sia scrivendo il sistema e trovandone il kernel, o parametrizzando le equazioni.
Se il vettore $w$ non deve essere comb. lineare di $v_1$ e $v_2$ allora è l.i. e messi assieme formerebbero una base $R_2[x]$
2) devi provarci da solo...è davvero banalissimo
3) dimostra che è un sottospazio vettoriale...almeno provaci. Consiglio: è il sottospazio formato dalle matrici antisimmetriche.
4) è l'intersezione di due piani chiaramente non paralleli (perchè?) e passanti per l'origine, quindi si intersecano in una retta passante per l'origine. Puoi trovare una base sia scrivendo il sistema e trovandone il kernel, o parametrizzando le equazioni.
Innanzitutto grazie mille per la risposta. Allora:
1) Tutto chiaro, però non capisco come trovare un vettore che soddisfi determinate condizioni in generale. Ho trovato altri esercizi di questo tipo e non sono riusciti a risolverli. Non so se ti ho fornito informazioni necessarie in modo che tu possa aiutarmi, in caso chiedimi pure.
2) Non riesco a trovarla una soluzione. Non ho proprio mai fatto un esercizio di questo tipo.
3) Sì, riesco a dimostrare che è un sottospazio. La dimensione come la trovo?
4) Prima parte ok. Non ho ancora trattato il kernel a lezione. Per quanto riguarda il parametrizzare le equazioni, sapresti gentilmente dirmi come??
Scusa ma sono alle prime armi con l'algebra lineare e con la matematica in generale non è che vada meglio ahahah
Grazie ancoraaa
1) Tutto chiaro, però non capisco come trovare un vettore che soddisfi determinate condizioni in generale. Ho trovato altri esercizi di questo tipo e non sono riusciti a risolverli. Non so se ti ho fornito informazioni necessarie in modo che tu possa aiutarmi, in caso chiedimi pure.
2) Non riesco a trovarla una soluzione. Non ho proprio mai fatto un esercizio di questo tipo.
3) Sì, riesco a dimostrare che è un sottospazio. La dimensione come la trovo?
4) Prima parte ok. Non ho ancora trattato il kernel a lezione. Per quanto riguarda il parametrizzare le equazioni, sapresti gentilmente dirmi come??
Scusa ma sono alle prime armi con l'algebra lineare e con la matematica in generale non è che vada meglio ahahah
Grazie ancoraaa
Ok, ma siamo chiari su un punto...se non conosci l'oggetto della discussione allora è difficile che tu possa trovare e/o capire le risposte. A me pare di capire che tu abbia appena iniziato con l'algebra lineare e già fai esercizi sugli spazi polinomiali? Sei sicuro di sapere cosa siano?
4 vettori a casaccio non nulli di $R_2[x]$ sono 4 polinomi. Per esempio $x^2, x, 1, x^2+sqrt(2)x$, no?
Basta scrivere un polinomio generico $ax^2+bx+c$ e assegnare valori a casaccio alle costanti.
Per questo sono un po' sorpreso...ripeto sei sicuro sicuro di avere già visto e studiato questi spazi a lezione?
Invece per i due sottospazi distinti di dimensione 2 che abbiamo nella base $x^2+x$ basta aggiungere un vettore l.i.
Per esempio $x$ alla prima base e $1$ alla seconda. La prima base creerà solo polinomi del tipo $ax^2+bx$ la seconda polinomi del tipo $ax^2+ax+c$.
Per il 3) avevo scritto una mezza castroneria, intendevo dire altro ma ho scritto veloce. Dimentica per ora le matrici antisimmetriche. La matrice in questione ha solo due scalari, quindi si può spezzare in:
$ a( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) + b( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) ) $
e ti dice già tutto. Le due matrici sono una base che creano un sottospazio di dimensione 2.
Per il 4) sostanzialmente devi trovare una delle possibili soluzioni del sistema omogeneo...ma non sai risolvere i sistemi omogenei? In genere sono la prima cosa che insegnano.
Per parametrizzare, visto che entrambe le equazioni hanno la y in comune, poniamo quindi $y=t$.
Per sostituzione segue che $x=2t$ e $z=-t$
Ovvero il sottspazio è l'insieme dei punti (x,y,z):
$ {( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 2t ),( t ),( -t ) ) = t( ( 2 ),( 1 ),( -1 ) ) $
Quindi è generato, ad esempio proprio dal vettore (2,1,-1), ovvero una retta che passa per l'origine.
Se sostituisci quel vettore nelle equazioni vedrai che vengono soddisfatte entrambe...e sono soddisfatte ovviamente anche dai multipli di quel vettore.
4 vettori a casaccio non nulli di $R_2[x]$ sono 4 polinomi. Per esempio $x^2, x, 1, x^2+sqrt(2)x$, no?
Basta scrivere un polinomio generico $ax^2+bx+c$ e assegnare valori a casaccio alle costanti.
Per questo sono un po' sorpreso...ripeto sei sicuro sicuro di avere già visto e studiato questi spazi a lezione?
Invece per i due sottospazi distinti di dimensione 2 che abbiamo nella base $x^2+x$ basta aggiungere un vettore l.i.
Per esempio $x$ alla prima base e $1$ alla seconda. La prima base creerà solo polinomi del tipo $ax^2+bx$ la seconda polinomi del tipo $ax^2+ax+c$.
Per il 3) avevo scritto una mezza castroneria, intendevo dire altro ma ho scritto veloce. Dimentica per ora le matrici antisimmetriche. La matrice in questione ha solo due scalari, quindi si può spezzare in:
$ a( ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) ) + b( ( 0 , 1 ),( -1 , 0 ) ) $
e ti dice già tutto. Le due matrici sono una base che creano un sottospazio di dimensione 2.
Per il 4) sostanzialmente devi trovare una delle possibili soluzioni del sistema omogeneo...ma non sai risolvere i sistemi omogenei? In genere sono la prima cosa che insegnano.
Per parametrizzare, visto che entrambe le equazioni hanno la y in comune, poniamo quindi $y=t$.
Per sostituzione segue che $x=2t$ e $z=-t$
Ovvero il sottspazio è l'insieme dei punti (x,y,z):
$ {( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 2t ),( t ),( -t ) ) = t( ( 2 ),( 1 ),( -1 ) ) $
Quindi è generato, ad esempio proprio dal vettore (2,1,-1), ovvero una retta che passa per l'origine.
Se sostituisci quel vettore nelle equazioni vedrai che vengono soddisfatte entrambe...e sono soddisfatte ovviamente anche dai multipli di quel vettore.
Ah ok grazie mille, molto chiaro!
Se dovessi avere ancora problemi con esercizi del genere ti farò sapere...grazie ancora!!
Se dovessi avere ancora problemi con esercizi del genere ti farò sapere...grazie ancora!!
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