Esempio in topologia
Ragazzi salve!
Stavo pensando a se esiste un esempio di spazio metrico completo ma non normato! Esiste? Se sì quale potrebbe essere?
Stavo pensando a se esiste un esempio di spazio metrico completo ma non normato! Esiste? Se sì quale potrebbe essere?
Risposte
Puoi prendere un qualsiasi spazio vettoriale reale con la metrica discreta ([tex]d(P,Q)=1[/tex] se e solo se [tex]P \neq Q[/tex]). Non è normabile dato che per esempio se [tex]P \neq O[/tex] allora [tex]d(2P,O) = 1 \neq 2 = 2 \cdot d(P,O)[/tex]. Ed è ovviamente completo (è discreto).
In generale per rispondere alla tua domanda basta trovare uno spazio (vettoriale!) metrico non normabile, dato che il suo completamento sarà ancora non normabile. Gli spazi vettoriali metrici normabili sono (facilmente) quelli per cui la metrica è omogenea e invariante per traslazione (cf. qui).
In generale per rispondere alla tua domanda basta trovare uno spazio (vettoriale!) metrico non normabile, dato che il suo completamento sarà ancora non normabile. Gli spazi vettoriali metrici normabili sono (facilmente) quelli per cui la metrica è omogenea e invariante per traslazione (cf. qui).
Giusto giusto. Grazie anche per il collegamento, molto interessante!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo