Esempio di sottospazio

[alessio_baiocco]

Non sono mai stato una cima a dare esempi, tanto meno se devo formurarlo tutto da me . Il testo di un mio esame diceva: dare un esempio di sottospazio di R5 di dimensione 2 definito da un sistema lineare.
Alla parola esempio sono andato in panico... , qualcuno può aiutarmi?

[anto_zoolander]

${(x_1=0),(x_2=0),(x_3=0):}$ o meglio $((1,0,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0))((x_1),(x_2),(x_3),(x_4),(x_5))=((0),(0),(0),(0),(0))$

Chi è l’insieme delle soluzioni?

[alessio_baiocco]

Scusami non credo di aver capito , perché questo sottospazio ha dimensione 2?
Non sono molto esperto, quindi chiedo: il rango per pivot è uguale alla dimensione?

[anto_zoolander]

Poni quella matrice come $A$
Chi è l’insieme $S={X inRR^5:AX=vec(0)}$?

Intanto nota che

$• X,Y in S$ allora $A(X+Y)=AX+AY=vec(0)+vec(0)=vec(0)$

$• X inS, lambda inRR$ allora $A(lambdaX)=lambda(AX)=lambda*vec(0)=vec(0)$

Quindi $SleqRR^5$

Quindi non ti rimane che vedere quale sia la dimensione $dimS$
Quella dimensione non è altro che la dimensione del nucleo dell’applicazione lineare definita come $L_A:RR^5->RR^5$ e $L_A(X)=AX$ ovvero $dimS=dimKer(L)=dimRR^5-r(A)=5-3=2$.

Cosi ti torna?

[alessio_baiocco]

Ah ok perfetto , non l'avevo pensata in questo modo: Quella dimensione non è altro che la dimensione del nucleo dell’applicazione lineare definita come LA:R5→R5 e LA(X)=AX ovvero dimKer(L)=dimR5−r(A)=5−3=2.

[anto_zoolander]

La teoria delle applicazioni lineari aiuta molto sotto questo aspetto
In generale quando hai a che fare con sistemi lineari, ricordati che hai a che fare con equazioni matriciali, e quando hai a che fare con equazioni matriciali hai a che fare con applicazioni lineari.