Esempio di prodotto interno
Mi scuso se ho aperto una nuova discussione ma essendo argomenti un po diversi tra loro non volevo fare confusione! Finora ho visto e fatto esercizi riguardo ai prodotti interni in $R^n$. Qualcuno potrebbe fornirmi un esempio di prodotto interno nei polinomi (in uno spazio di dimensione finita possibilmente) ? Grazie!
Risposte
Se ne possono definire diversi. Lo spazio vettoriale di tutti i polinomi non ha dimensione finita.
A volte su spazi di funzioni in generale (con qualche proprieta' di compattezza/finitezza) si definisce il prodotto scalare $L^2$, che e' dato (per funzioni reali) da:
\[
\langle f,g \rangle = \int_\Omega f(x)g(x) dx
\]
dove $\Omega$ e' il dominio di $f,g$ (o un suo sottoinsieme in certi casi).
In alternativa si puo' considerare spazi di polinomi di dimensione finita (ad esempio lo spazio $P_{n}$ dei polinomi di grado al piu' $n$, che ha dimensione $n+1$). Una volta che fissiamo una base di $\mathbb{R}^{n+1}$ e una base di $P_n$ (tipicamente la base canonica e la base dei monomi) possiamo identificare i due spazi e usare i prodotti scalari di $\mathbb{R}^{n+1}$ per definire prodotti scalari su $P_n$. Tuttavia, questo tipo di definizione richiede di fare tante scelte (piu' precisamente, questo prodotto scalare non e' canonico).
A volte su spazi di funzioni in generale (con qualche proprieta' di compattezza/finitezza) si definisce il prodotto scalare $L^2$, che e' dato (per funzioni reali) da:
\[
\langle f,g \rangle = \int_\Omega f(x)g(x) dx
\]
dove $\Omega$ e' il dominio di $f,g$ (o un suo sottoinsieme in certi casi).
In alternativa si puo' considerare spazi di polinomi di dimensione finita (ad esempio lo spazio $P_{n}$ dei polinomi di grado al piu' $n$, che ha dimensione $n+1$). Una volta che fissiamo una base di $\mathbb{R}^{n+1}$ e una base di $P_n$ (tipicamente la base canonica e la base dei monomi) possiamo identificare i due spazi e usare i prodotti scalari di $\mathbb{R}^{n+1}$ per definire prodotti scalari su $P_n$. Tuttavia, questo tipo di definizione richiede di fare tante scelte (piu' precisamente, questo prodotto scalare non e' canonico).
Comincia a risultarmi più chiaro anche questo concetto! Ma come nell'altro quesito, (ti ringrazio per le risposte!), non so proprio come rispondere al problema postomi ossia:
Visto il prodotto interno standard in \(R^n\), fare un esempio di prodotto interno nei polinomi (no dimensioni infinite). Come posso procedere?
Grazie ancora!
Visto il prodotto interno standard in \(R^n\), fare un esempio di prodotto interno nei polinomi (no dimensioni infinite). Come posso procedere?
Grazie ancora!
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