Esempi sugli spazi duali.
Buongiorno, vi riporto tutti gli ingredienti del mio dolce 
.
Esempi e teorema sono presi dalle dispense del Manetti sugli spazi duali.
Esempio 1:
La regola del prodotto riga per colonna permette di definire un'applicazione lineare dallo spazio dei vettori riga
Si verifica che $phi$ manda la base canonica di $K^(timesn)$ nella duale della base canonica di $K^(n)$ e quindi $phi$ è un isomorfismo.
Correggetemi se sbaglio:
L'ultima frase significa dire che prendo la base canonica ${e_1=(1,0,...,0),...,e_n=(0,0,...,1)}$ di $K^(timesn)$, mediante $phi$ la manda nella base duale della base canonica di $K^n$.
La base duale della base canonica di $K^n$ sono i funzionali lineari $e^i :K^n to K$ per ogni $i=1,...,n$ dove per ogni vettore $h in K^n$ associa la componente i-esima, cioè $e^i (h)=h_i.$
Dunque, tirando le somme $phi(e_i)=phi_(e_i),$ preso $h in K^n$ si ha $phi_(e_i)h=h_i$ per ogni $i=1,...,n.$
Pertanto $phi$ fa quanto detto, cioè manda la base canonica di $K^(timesn)$ nella base duale della base canonica di $K^n$, per cui $K^(timesn) \cong (K^n)^(**).$
Teorema:
Sia $H$ iperpiano di $(V_n,K)$. Allora esiste unico $fin V^(**)$ a meno di moltiplicazioni per uno scalare diverso da zero, per cui $H=Kerf$.
Esempio 2:
Tenendo presente l'esempio 1, il teorema precedente ci dice che per ogni iperpiano $HsubsetK^n$ esiste un vettore riga non nullo $(a_1,...,a_n)$ tale che
Il mio problema che non riesco a vedere il collegamento tra questi oggetti
. Esempi e teorema sono presi dalle dispense del Manetti sugli spazi duali.
Esempio 1:
La regola del prodotto riga per colonna permette di definire un'applicazione lineare dallo spazio dei vettori riga
$K^(timesn)={(a_1,...,a_n): a_1,...,a_n in K}$
al duale dello spazio $K^(**)$, nella seguente maniera, sia $(a_1,...,a_n) in K^(timesn)$ consideriamo l'applicazione $phi_a :K^n to K, \qquad phi_a(b_1,...,b_n)=sum_(i=1)^na_ib_i.$
Infine definiamo l'applicazione $phi:H^(timesn) to (K^n)^(**), \qquad phi(a)=phi_a.$
Si verifica che $phi$ manda la base canonica di $K^(timesn)$ nella duale della base canonica di $K^(n)$ e quindi $phi$ è un isomorfismo.
Correggetemi se sbaglio:
L'ultima frase significa dire che prendo la base canonica ${e_1=(1,0,...,0),...,e_n=(0,0,...,1)}$ di $K^(timesn)$, mediante $phi$ la manda nella base duale della base canonica di $K^n$.
La base duale della base canonica di $K^n$ sono i funzionali lineari $e^i :K^n to K$ per ogni $i=1,...,n$ dove per ogni vettore $h in K^n$ associa la componente i-esima, cioè $e^i (h)=h_i.$
Dunque, tirando le somme $phi(e_i)=phi_(e_i),$ preso $h in K^n$ si ha $phi_(e_i)h=h_i$ per ogni $i=1,...,n.$
Pertanto $phi$ fa quanto detto, cioè manda la base canonica di $K^(timesn)$ nella base duale della base canonica di $K^n$, per cui $K^(timesn) \cong (K^n)^(**).$
Teorema:
Sia $H$ iperpiano di $(V_n,K)$. Allora esiste unico $fin V^(**)$ a meno di moltiplicazioni per uno scalare diverso da zero, per cui $H=Kerf$.
Esempio 2:
Tenendo presente l'esempio 1, il teorema precedente ci dice che per ogni iperpiano $HsubsetK^n$ esiste un vettore riga non nullo $(a_1,...,a_n)$ tale che
$H={(x_1,...,x_n)^T: sum_(i=1)^n a_ix_1=0}.$
Il mio problema che non riesco a vedere il collegamento tra questi oggetti
Risposte
E qual è la domanda?
Ciao, la mia difficoltà è: non riesco a vedere il collegamento tra il teorema e l'esempio 1.
Quindi, mi potreste dare una mano?
Quindi, mi potreste dare una mano?
Il collegamento tra i due oggetti è la funtorialità della costruzione dello spazio duale: ad ogni applicazione lineare \(f : V \to W\) si associa una applicazione lineare \(f^* : W^* \to V^*\), la trasposta di \(f\), definita per pre-composizione dalla regola \((W \overset\alpha\to K)\mapsto (V \overset f\to W \overset\alpha\to K)\).
Ora, si verifica facilmente che \(\text{im } f^* = (\ker f)^\perp\) e che \(\ker f^* = (\text{im } f)^\perp\). Questa è la relazione che lega iperpiani (che sono esattamente nuclei di elementi del duale) e vettori, che identificano il loro ortogonale.
Da ultimo, è solo la scelta di una base a rendere possibile l'identificazione di cui parli nell'esempio 1; è questa scelta di una base di $V$che dà una identificazione di $V$ con \(M_{n,1}(K)\), e anche di \(V^*\) con \(M_{1,n}(K)\) (usando la base canonica $\{1\}$ d i$K$). In questa identificazione la dualità canonica corrisponde al prodotto di matrici:
\[M_{1,n}(K)\times M_{n,1}(K) \to M_{1,1}(K)= K \]
Ancora una volta, si può dire che lo spazio duale di $V$ è lo spazio vettoriale delle “equazioni di iperpiani di V” (ogni elemento di \(V^*\), in quanto funzione lineare, identifica il suo nucleo, che è un sottospazio di V : di dimensione n−1 in generale), tenendo conto che il covettore nullo non descrive un iperpiano ma tutto lo spazio V , e che due covettori descrivono lo stesso iperpiano se e solo se sono non nulli e proporzionali (cioè linearmente dipendenti, condizione necessaria e sufficiente affinch´e abbiano lo stesso nucleo). L’ortogonale di un vettore è allora il sottospazio delle equazioni di iperpiani che contengono quel vettore; l’ortogonale di un sottospazio di V è l’insieme delle equazioni di iperpiani di V che contengono quel sottospazio.
Ora, si verifica facilmente che \(\text{im } f^* = (\ker f)^\perp\) e che \(\ker f^* = (\text{im } f)^\perp\). Questa è la relazione che lega iperpiani (che sono esattamente nuclei di elementi del duale) e vettori, che identificano il loro ortogonale.
Da ultimo, è solo la scelta di una base a rendere possibile l'identificazione di cui parli nell'esempio 1; è questa scelta di una base di $V$che dà una identificazione di $V$ con \(M_{n,1}(K)\), e anche di \(V^*\) con \(M_{1,n}(K)\) (usando la base canonica $\{1\}$ d i$K$). In questa identificazione la dualità canonica corrisponde al prodotto di matrici:
\[M_{1,n}(K)\times M_{n,1}(K) \to M_{1,1}(K)= K \]
Ancora una volta, si può dire che lo spazio duale di $V$ è lo spazio vettoriale delle “equazioni di iperpiani di V” (ogni elemento di \(V^*\), in quanto funzione lineare, identifica il suo nucleo, che è un sottospazio di V : di dimensione n−1 in generale), tenendo conto che il covettore nullo non descrive un iperpiano ma tutto lo spazio V , e che due covettori descrivono lo stesso iperpiano se e solo se sono non nulli e proporzionali (cioè linearmente dipendenti, condizione necessaria e sufficiente affinch´e abbiano lo stesso nucleo). L’ortogonale di un vettore è allora il sottospazio delle equazioni di iperpiani che contengono quel vettore; l’ortogonale di un sottospazio di V è l’insieme delle equazioni di iperpiani di V che contengono quel sottospazio.
Ciao fulcanelli ti ringrazio per la risposta. Purtroppo è molto lontana dalle mie conoscenze, sono uno studente del primo anno della triennale, anche se volessi capire quanto scritto da te, impiegherei un bel po' di tempo.
Comunque, se hai voglia, puoi sempre darmi una risposta più vicino alle mie conoscenze.
Comunque, grazie lo stesso.
Comunque, se hai voglia, puoi sempre darmi una risposta più vicino alle mie conoscenze.
Comunque, grazie lo stesso.
Ho copincollato del testo dal libro su cui ho studiato io al primo anno...
Va bene
Prova a scrivere l'equazione del generico iperpiano vettoriale come un prodotto di vettori righe per vettori colonne! 
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