Esempi di vettori
Ciao a tutti! Sto studiando algebra e geometria e mi sono imbattuta in un esercizio che mi chiede di fornire esempi:
1. Di un insieme di tre vettori linearmente indipendenti di R^2,R^3,R^4
2. Di un insieme di tre vettori linearmenti indipendenti che generino R^2,R^3,R^4.
Per il primo punto avevo pensato di valutare tre vettori linearmente indipendenti tra di loro una volta del tipo (a,b) una volta del tipo (a,b,c) e l'ultima (a,b,c,d)
Del secondo punto invece non capisco in che senso "generino".
Qualcuno può aiutarmi e nel caso correggere l'idea che ho avuto per il primo punto?
Grazie mille
1. Di un insieme di tre vettori linearmente indipendenti di R^2,R^3,R^4
2. Di un insieme di tre vettori linearmenti indipendenti che generino R^2,R^3,R^4.
Per il primo punto avevo pensato di valutare tre vettori linearmente indipendenti tra di loro una volta del tipo (a,b) una volta del tipo (a,b,c) e l'ultima (a,b,c,d)
Del secondo punto invece non capisco in che senso "generino".
Qualcuno può aiutarmi e nel caso correggere l'idea che ho avuto per il primo punto?
Grazie mille
Risposte
Si per il primo è giusto il ragionamento. Per il secondo punto per generale uno spazio si intende di prendere una base dello spazio che lo genera ad esempio per $RR^2$ prendi come vettori $(1,0) $e $(0,1)$ questi due vettori sono una base di $RR^2$ e generano questo spazio. Invece se prendi i 3 vettori linearmente indipendenti che identifichi per il punto 1 questi non possono generare $RR^2$ perchè la base di questo spazio è 2 e saranno 2 i vettori al più che lo potranno generare. Tu hai fatto la parte delle basi/dimensioni/generatori?
Sì. Conclusa proprio stamattina.
Non mi è ben chiaro, cioè per il secondo punto dovrei considerare una diciamo così base canonica? Mentre per il primo qualsiasi vettore purché siano linearmente indipendenti?
Non mi è ben chiaro, cioè per il secondo punto dovrei considerare una diciamo così base canonica? Mentre per il primo qualsiasi vettore purché siano linearmente indipendenti?
Ti ho fatto un esempio con la base canonica, ma puoi prendere 2 vettori qualsiasi purchè siano linearmente indipendenti e che ti generino lo spazio (ti parlo sempre per $RR^2$)
Il problema è che ancora mi sfugge la differenza tra "appartenere" e "generare". Come faccio a distinguerli e a dare una risposta ad uno rispetto all'altro?
Dei vettori che generano uno spazio appartengono allo stesso spazio.
Forse ho capito.
Ma ad esempio, l'insieme di vettori [(1,0,0,0), (0,1,0,0)(0,0,1,0] può essere considerata base di R4?
Ed è corretto dire che non esiste una base di R4 formata da 5 vettori perché per essere un sistema di generatori il rango deve essere massimo, in tal caso per avere rango 4 dovremmo avere un vettori dipendente ma così non sarebbe più una base?
Ma ad esempio, l'insieme di vettori [(1,0,0,0), (0,1,0,0)(0,0,1,0] può essere considerata base di R4?
Ed è corretto dire che non esiste una base di R4 formata da 5 vettori perché per essere un sistema di generatori il rango deve essere massimo, in tal caso per avere rango 4 dovremmo avere un vettori dipendente ma così non sarebbe più una base?
Quest'insieme di vettori che hai scritto non è una base di $RR^4$.
Una base deve essere costituita da vettori generatori. $RR^4$ ha dimensione 4, allora sarà generato da un sistema di 4 vettori.
Un sistema di 5 vettori non è una base, perchè come ti dicevo $RR^4$ ha dimensione 4. Quindi uno di quei vettori va scartato per ottenere una base di $RR^4$.
Ma ricorda: base costituita da vettori generati linearmente indipendenti tra di loro
Una base deve essere costituita da vettori generatori. $RR^4$ ha dimensione 4, allora sarà generato da un sistema di 4 vettori.
Un sistema di 5 vettori non è una base, perchè come ti dicevo $RR^4$ ha dimensione 4. Quindi uno di quei vettori va scartato per ottenere una base di $RR^4$.
Ma ricorda: base costituita da vettori generati linearmente indipendenti tra di loro
Giusto! La base deve comunque avere 4 vettori perché devono essere generatori. Ora mi è tutto chiaro, grazie mille!
Ma in R2 non esistono tre vettori indipendenti
Si infatti si deve verificare, e poi scartare il vettore. Ci sono esercizi in cui ti danno ad esempio 4, 5 vettori in $RR^4$ e ti dicono di individuare una base di questo spazio. Per farlo si utilizza il metodo degli scarti si individuano i 4 vettori linearmente indipendenti. Non mi sembra di aver detto il contrario
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